Рассмотрим случай вложения денег только в первый проект, в этом случае $y=ax ^2 + bx$ при этом $x= - \frac{b}{2a}$ По условию $b=200$ если $x=100$ Значит, $b= - 200a$ Тогда

$y ( 100 ) =a \cdot 100 ^2 - 200 \cdot a \cdot 100=10000a - 20000a=200$
откуда

$ - 10000a=200 = сильно a= - \frac{1}{50}$

При таком a найдется значение b:

$b= - 200a= - 200 \cdot ( - $\frac{1}{50}$ ) = 4$

Функция имеет вид $y= - $\frac{1}{50}$ x ^2 + 4x$
Рассмотрим вложение денежных средств только во второй проект. Аналогично получаем: $y=ax ^2 + bx$ при этом $x= - \frac{b}{2a}$ По условию $b=150$ если $x=150$ Значит, $b= - 300a$ Тогда

$y ( 150 ) =150 ^2 \cdot a - 300 \cdot a \cdot 150=150$
откуда

$150a - 300a=1 = сильно - 150a=1 = сильно a= - \frac{1}{150}$

При полученном значении a

$b= - 300 \cdot ( - $\frac{1}{150}$ ) =2$

Функция имеет вид $y= - $\frac{1}{150}$ x ^2 + 2x$
Рассмотрим вложение в оба проекта суммы 290 тыс. руб. Пусть в первый проект было вложено x тыс. руб, тогда второй проект вложено $( 290 - x )$  тыс. руб. Составим сумму ранее найденных функций для этих значений аргументов и найдем ее наибольшее значение. Имеем:

$f ( x ) = - $\frac{1}{50}$ x ^2 + 4x - $\frac{1}{150}$ ( 290 - x ) ^2 + 2 ( 290 - x )$

Полученная функция квадратичная с отрицательным старшим коэффициентом, она достигает своего наибольшего значения в точке максимума. Найдем производную:

$f' ( x ) = - $\frac{2}{50}$ x + 4 - $\frac{2}{150}$ \cdot ( 290 - x ) \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot ( - 1 )$

Решим уравнение $f' ( x ) =0:$

$ - $\frac{1}{25}$ x + 2 + $\frac{290 - x}{75}$ =0 = сильно - 3x + 290 - x + 150=0 = сильно 4x=440 = сильно x=110$ $ - $\frac{1}{25}$ x + 2 + $\frac{290 - x}{75}$ =0 = сильно$
$ = сильно - 3x + 290 - x + 150=0 = сильно 4x=440 = сильно x=110$ $ - $\frac{1}{25}$ x + 2 + $\frac{290 - x}{75}$ =0 = сильно$
$ = сильно - 3x + 290 - x + 150=0 = сильно$
$ = сильно 4x=440 = сильно x=110$

Итак, в первый проект следует вложить 110 тыс. руб., во второй  — 180 тыс. руб. При этом максимальная общая прибыль составит

$f ( 110 ) = - $\frac{1}{50}$ \cdot 12100 + 440 - $\frac{1}{150}$ \cdot 180 ^2 + 2 \cdot 180= - 242 + 440 - 216 + 360=342 ( тыс. руб. )$ $f ( 110 ) = - $\frac{1}{50}$ \cdot 12100 + 440 - $\frac{1}{150}$ \cdot 180 ^2 + 2 \cdot 180=$
$= - 242 + 440 - 216 + 360=342 ( тыс. руб. )$

Ответ: 110 тыс. руб. в первый проект, 180 тыс. руб. во второй проект; максимальная общая прибыль 342 тыс. руб.