Пусть сумма вклада равна S, и вклад был открыт на n месяцев. По условию, $n принадлежит N , n меньше 12$ Пусть первые k месяцев у Александры процентная ставка составила 81,44% в месяц. Тогда

$S \cdot 1,26 в степени n =S \cdot 1,8144 в степени k \cdot 1,05 в степени ( n - k )$

Откуда

$( $\frac{1,26}{1,05}$ ) в степени n = ( $\frac{1,8144}{1,05}$ ) в степени k = сильно ( $\frac{6}{5}$ ) в степени n = ( $\frac{1,8144}{1,05}$ ) в степени k$

Преобразуем дробь:

$\frac{1,8144}{1,05} = $\frac{18144}{105 \cdot 100}$ = $\frac{4 \cdot 4536}{100 \cdot 21 \cdot 5}$ = $\frac{9 \cdot 504}{25 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5}$ = $\frac{3 \cdot 72}{25 \cdot 5}$ = $\frac{3 ^3 \cdot 2 ^3}{5 ^3}$ = ( $\frac{6}{5}$ ) ^3$ $\frac{1,8144}{1,05} = $\frac{18144}{105 \cdot 100}$ = $\frac{4 \cdot 4536}{100 \cdot 21 \cdot 5}$ =$
$= $\frac{9 \cdot 504}{25 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5}$ = $\frac{3 \cdot 72}{25 \cdot 5}$ = $\frac{3 ^3 \cdot 2 ^3}{5 ^3}$ = ( $\frac{6}{5}$ ) ^3$

Тогда

$( $\frac{6}{5}$ ) в степени n = ( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 3k ) = сильно n=3k$

С учётом ограничений на n существует только три решения: $n=3; k=1$ $n=6; k=2$ или $n=9; k=3$ Значит, наибольшее количество месяцев, которое могла действовать ставка 81,44%, = трём.

Ответ: 3 месяца.