15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
− 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.
На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с теми же условиями на 30 месяцев?
− 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.
На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с теми же условиями на 30 месяцев?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть кредит взят на n месяцев, сумма кредита равна S = 600 000 руб. Составим таблицу по данным задачи.
Номер
месяца | Долг в начале месяца
(с учетом процентов), руб. | Платёж,
руб. | Долг на 15-е число
(после платежа), руб.
S
1
$1,02S$
$0,02S + \frac{S}{n}$
$S - \frac{S}{n}$
2
$1,02 ( S - $\frac{S}{n}$ )$
$0,02 ( S - $\frac{S}{n}$ ) + \frac{S}{n}$
$S - $\frac{S}{n}$ - \frac{S}{n}$
...
...
...
...
$n - 1$
...
...
$\frac{S}{n}$
n
$1,02 \cdot \frac{S}{n}$
$0,02 \cdot $\frac{S}{n}$ + \frac{S}{n}$
$0$
Суммируем все выплаты:
$B_n = \undersetпервая выплата\mathop ( 0,02S + $\frac{S}{n}$ ) + \undersetвторая выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{( n - 1 ) S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) + ... + \undersetn - я выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) =$ $B_n =$
$= \undersetпервая выплата\mathop ( 0,02S + $\frac{S}{n}$ ) + \undersetвторая выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{( n - 1 ) S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) + ... + \undersetn - я выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) =$
$= n \cdot $\frac{S}{n}$ + \undersetсуммаарифм.прогрессии\mathop0,02 \cdot \frac{S + $\frac{S}{n}$ ,}{2} \cdot n =S + 0,01S \cdot ( n + 1 )$
Найдём разность между суммами выплат при разных сроках кредита:
$B_30 - B_24= S + 0,01S \cdot ( 30 + 1 ) - S - 0,01S \cdot ( 24 + 1 ) =$
$= 0,01S \cdot ( 31 - 25 ) = 0,06S = 0,06 \cdot 600000 = 36000$ руб.
Ответ: на 36 000 рублей.
Номер
месяца | Долг в начале месяца
(с учетом процентов), руб. | Платёж,
руб. | Долг на 15-е число
(после платежа), руб.
S
1
$1,02S$
$0,02S + \frac{S}{n}$
$S - \frac{S}{n}$
2
$1,02 ( S - $\frac{S}{n}$ )$
$0,02 ( S - $\frac{S}{n}$ ) + \frac{S}{n}$
$S - $\frac{S}{n}$ - \frac{S}{n}$
...
...
...
...
$n - 1$
...
...
$\frac{S}{n}$
n
$1,02 \cdot \frac{S}{n}$
$0,02 \cdot $\frac{S}{n}$ + \frac{S}{n}$
$0$
Суммируем все выплаты:
$B_n = \undersetпервая выплата\mathop ( 0,02S + $\frac{S}{n}$ ) + \undersetвторая выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{( n - 1 ) S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) + ... + \undersetn - я выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) =$ $B_n =$
$= \undersetпервая выплата\mathop ( 0,02S + $\frac{S}{n}$ ) + \undersetвторая выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{( n - 1 ) S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) + ... + \undersetn - я выплата\mathop ( 0,02 \cdot $\frac{S}{n}$ + $\frac{S}{n}$ ) =$
$= n \cdot $\frac{S}{n}$ + \undersetсуммаарифм.прогрессии\mathop0,02 \cdot \frac{S + $\frac{S}{n}$ ,}{2} \cdot n =S + 0,01S \cdot ( n + 1 )$
Найдём разность между суммами выплат при разных сроках кредита:
$B_30 - B_24= S + 0,01S \cdot ( 30 + 1 ) - S - 0,01S \cdot ( 24 + 1 ) =$
$= 0,01S \cdot ( 31 - 25 ) = 0,06S = 0,06 \cdot 600000 = 36000$ руб.
Ответ: на 36 000 рублей.
Правильный ответ:
на 36 000 рублей
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64645 • Задание №2
Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара н...
ID 65137 • Задание №4
[рис.] Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. ри...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
– неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
– верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
– неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
– верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...