[рис.] а)  Пусть АВ  — диаметр большей из трёх окружностей, О  — её центр, O1  — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2  — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1  — в точке D, отрезка АВ  — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2  =  ОС − O2С  =  ОС − R. Аналогично ОО1  =  OA − О1А  =  ОА − r и O1O2  =  O1D + O2D  =  r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен

$OO_1 + OO_2 + O_1O_2 = OA - r + OC - R + r + R = OA + OC = 2OA = AB$ $OO_1 + OO_2 + O_1O_2 = OA - r + OC - R + r + R =$
$= OA + OC = 2OA = AB$

б)  Пусть OA  =  4, r  =  1. Тогда получаем: O2Е  =  R, O1O2  =  1 + R, OO1  =  OA − О1А  =  4 − 1  =  3, OO2  =  ОС − O2С  =  4 − R. Из прямоугольных треугольников O1O2Е и OO2Е находим, что

$O_1E = $\sqrt{аргумента: O_1O ^2 _2 - O_2E ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: ( 1 + R ) ^2 - R ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 1 + 2R}$ аргумента$
$OE= $\sqrt{аргумента: OO ^2 _2 - O_2E ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: ( 4 - R ) ^2 - R ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 16 - 8R}$ аргумента$

а поскольку

О1E  =  OO1 + ОЕ, то $\sqrt{аргумента: 1 + 2R} аргумента = 3 + $\sqrt{аргумента: 16 - 8R}$ аргумента$

Полученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.
Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E  =  OO1 − ОЕ, то есть $\sqrt{аргумента: 1 + 2R} аргумента = 3 - $\sqrt{аргумента: 16 - 8R}$ аргумента$ Из этого уравнения находим, что $R = \frac{48}{25}$

Ответ: б) $\frac{48}{25}$

Приведем решение пункта б) Наиля Мусина.
Пусть радиус третьей окружности равен R. Рассмотрим треугольник OO1O2:

$O_1O_2=1 + R$ $OO_1=OA - O_1A=4 - 1=3$ $OO_2=OC - O_2C=4 - R$

По доказанному в пункте а) периметр треугольника OO1O2 равен 8. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона:

$S= $\sqrt{аргумента: 4 \cdot ( 4 - 1 - R ) \cdot ( 4 - 3 ) \cdot ( 4 - 4 + R )}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4R ( 3 - R )}$ аргумента$

Заметим, что радиус R третьей окружности является высотой данного треугольника, следовательно,

$\sqrt{аргумента: 4R ( 3 - R )} аргумента = $\frac{1}{2}$ R \cdot 3 = сильно R= \frac{48}{25}$