Преобразуем уравнение:

$\ln ( 1 - \sin ^2 ( \pi x ) ) \cdot $\sqrt{аргумента: a в степени 4 - 4a ^2 - x ^2 + 4x}$ аргумента = 0 = сильно \ln ( \cos ^2 ( \pi x ) ) \cdot $\sqrt{аргумента: a в степени 4 - 4a ^2 + 4 - x ^2 + 4x - 4}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \ln ( \cos ^2 ( \pi x ) ) \cdot $\sqrt{аргумента: ( a ^2 - 2 ) ^2 - ( x - 2 ) ^2}$ аргумента = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} \cos ^2 ( \pi x ) =1 \\[6pt] ( a ^2 - 2 ) ^2 - ( x - 2 ) ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} ( a ^2 - 2 ) ^2 - ( x - 2 ) ^2 =0 \\[6pt] \cos ^2 ( \pi x ) больше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} \cos ( \pi x ) = \pm 1 \\[6pt] ( a ^2 - x ) ( a ^2 + x - 4 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} ( a ^2 - x ) ( a ^2 + x - 4 ) =0 \\[6pt] \cos ( \pi x ) не = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x=k \\[6pt] ( a ^2 - x ) ( a ^2 + x - 4 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} совокупность выражений x=a ^2 \\[6pt] x=4 - a ^2 \end{cases}$$ . x не = $\frac{1}{2}$ + n, \end{array} \right. . конец совокупности . k, n принадлежит Z$

[рис.]
Построим график полученной совокупности на плосокости xOa при $a больше 0$ Графиком первой системы является объединение отрезков и лучей параллельных прямых $x=k$ с целыми абсциссами, лежащие между ветвями парабол $a= $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента$ и $a= $\sqrt{аргумента: 4 - x}$ аргумента$ Графиком второй системы является объединение ветвей двух парабол $a= $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента$ и $a= $\sqrt{аргумента: 4 - x}$ аргумента$ с выколотыми точками, дробная часть абсцисс которых равна 0,5. Пусть $f ( x ) = $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента$ и $g ( x ) = $\sqrt{аргумента: 4 - x}$ аргумента$ тогда

$f ( 0,5 ) = $\sqrt{аргумента: 0,5}$ аргумента =g ( 3,5 ) = a_1$
$f ( 1 ) =1=g ( 3 ) =a_2$
$f ( 1,5 ) = $\sqrt{аргумента: 1,5}$ аргумента =g ( 2,5 ) = a_3$
$f ( 2 ) = $\sqrt{2}$ =g ( 2 ) = a_4$
$f ( 2,5 ) = $\sqrt{аргумента: 2,5}$ аргумента =g ( 1,5 ) = a_5$
$f ( 3 ) = $\sqrt{3}$ =g ( 1 ) = a_6$
и $f ( 3,5 ) = $\sqrt{аргумента: 3,5}$ аргумента =g ( 0,5 ) = a_7$

Заметим также, что полученный график симметричен относительно прямой $x=2$
Проанализируем число корней в зависимости от значения параметра a с помощью графика. Получаем, что уравнение имеет
— при $0 меньше a меньше a_1$ пять корней;
— при $a=a_1$ три корня;
— при $a_1 меньше a меньше a_2$ пять корней;
— при $a_2 меньше или = a меньше a_3$ три корня;
— при $a=a_3$ один корень;
— при $a_3 меньше a меньше a_4$ три корня;
— при $a=a_4$ один корень;
— при $a_4 меньше a меньше a_5$ три корня;
— при $a=a_5$ один корень;
— при $a_5 меньше a меньше или = a_6$ три корня;
— при $a_6 меньше a меньше a_7$ пять корней;
— при $a=a_7$ три корня;
— при $a больше a_7$ не менее пяти корней.
Таким образом, получаем ответ.

Ответ: $\{ $\sqrt{аргумента: 0,5}$ аргумента , $\sqrt{аргумента: 3,5}$ аргумента \} \cup [ 1; $\sqrt{аргумента: 1,5}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 1,5}$ аргумента ; $\sqrt{2}$ ) \cup ( $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{аргумента: 2,5}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 2,5}$ аргумента ; $\sqrt{3}$ ]$