[рис.] а)  Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x  =  2y · y. Отсюда находим, что x  =  y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б)  Равные хорды = удалены от центра окружности, поэтому центр = стороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H  — проекция центра O на хорду AD. Тогда H  — общая середина отрезков AD и PQ, а OH  — радиус вписанной окружности = стороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P  — прямую, параллельную CF, а через точку Q  — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых = сторонних треугольников.
Обозначим PQ  =  2a. Тогда

$OH= \frac{2a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{6} = \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} ,2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента =OA= $\sqrt{аргумента: OH ^2 + AH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{a ^2}{3}$ + 9a ^2} аргумента = \frac{2a $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ $OH= \frac{2a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{6} = \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} ,2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента =OA=$
$= $\sqrt{аргумента: OH ^2 + AH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{a ^2}{3}$ + 9a ^2} аргумента = \frac{2a $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

Отсюда находим, что a  =  3, значит, PQ = 2a = 6, $S_PQT=a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Следовательно,

$S_ABCDEF=13S_PQT=13 \cdot 9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =117 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $117 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$