[рис.] а)  Пусть O  — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA  — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK  — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K  — середина AB. Аналогично M  — середина AC, поэтому KM  — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.
б)  Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

$OH= $\sqrt{аргумента: OB ^2 - BH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 64}$ аргумента =6$

Пусть Q  — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

$OF = OH - FH =OH - QP = 6 - 5 = 1$ $PH ^2 =QF ^2 =QO ^2 - OF ^2 = 25 - 1 =24$ $OP ^2 =OH ^2 + PH ^2 = 36 + 24 = 60$

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

$AP= $\sqrt{аргумента: OA ^2 - OP ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 60}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$

Отрезок KM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

$AL= $\frac{1}{2}$ AP= $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$

Ответ: б) $\sqrt{аргумента: 10} аргумента$

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).
а)  Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда $\angle TAB=\angle ACB$ и $\angle TAB=\angle AMK$ поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда $\angle ACB=\angle AMK$ равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

[рис.]

[рис.]

б)  По обобщенной теореме \sin ов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM  — средняя линия треугольника ABC, и $AL= $\frac{1}{2}$ AP$ по теореме Фалеса. Осталось найти AР.
Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рис. справа). Тогда H  — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

$OH= $\sqrt{аргумента: OB ^2 - BH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 64}$ аргумента =6$

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: $OP:OH=OA:OP$ то есть $OP:6=10:OP$ Следовательно, $OP= $\sqrt{аргумента: 60}$ аргумента$ По теореме Пифагора $AP= $\sqrt{аргумента: 40}$ аргумента$ Окончательно получаем: $AL= $\frac{1}{2}$ AP= $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$

Примечание Дмитрия Гущина.
Читатель, изучающий углубленный курс геометрии или занимавшийся в кружке, сразу заметит, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 меньшая окружность переходит в большую, а хорда KM переходит в хорду BC. Из этого сразу следует и параллельность прямыx KM и BC, и соотношение $BC = 2 KM$