В окружности с центром О проведен диаметр MN, отмечены точка K — середина дуги МN, точка А — середина хорды МK и точка В — середина дуги KN.
а) Докажите, что $AB : MN = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента : $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента$
б) На отрезке АВ как на стороне построен прямоугольник АВСD так, что его вершина С лежит на окружности. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если радиус окружности равен $3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
а) Докажите, что $AB : MN = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента : $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента$
б) На отрезке АВ как на стороне построен прямоугольник АВСD так, что его вершина С лежит на окружности. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если радиус окружности равен $3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Угол MOK — центральный угол, который опирается на дугу, равную четверти окружности, поэтому $\angle MOK = 90 ^{\circ}$ Треугольник MOK — = бедренный, поэтому медиана OA также является высотой и биссектрисой: $\angle MOA = \angle KOA = 45 ^{\circ}$ Аналогично $\angle KOB = \angle BON = 45 ^{\circ}$ откуда $\angle AOB = 90 ^{\circ}$ Пусть $MO = x$ тогда из = бедренных прямоугольных треугольников MAO и KAO находим $MA = AK = AO = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x$ По теореме Пифагора для треугольника AOB получаем:
$AB = $\sqrt{аргумента: AO ^2 + OB ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{x ^2}{2}$ + x ^2} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3x ^2}{2}$} аргумента = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2}$
Вычислим искомое отношение:
$\frac{AB}{MN} = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} : 2x = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4x} = \sqrt{аргумента: $\frac{6}{16}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{8}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента}$
б) Продлим прямую AB до пересечения с окружностью в точке P. Тогда отрезок PC — диаметр, а угол PBC — прямой. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, то есть
$PA \cdot AB = MA \cdot KA = сильно PA \cdot \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x = сильно PA = \frac{2x ^2}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента x} = сильно PA = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{6}$ $PA \cdot AB = MA \cdot KA = сильно PA \cdot \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x = сильно$
$ = сильно PA = \frac{2x ^2}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента x} = сильно PA = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{6}$
По теореме Пифагора для треугольника PBC получаем:
$BC = $\sqrt{аргумента: PC ^2 - PB ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( 2x ) ^2 - ( \frac{x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{6} + \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - ( \frac{2x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{3} ) ^2}аргумента = \sqrt{аргумента: 4x ^2 - $\frac{8x ^2}{3}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{4x ^2}{3}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3}$ $BC = $\sqrt{аргумента: PC ^2 - PB ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( 2x ) ^2 - ( \frac{x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{6} + \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - ( \frac{2x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{3} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - $\frac{8x ^2}{3}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{4x ^2}{3}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3}$ $BC = $\sqrt{аргумента: PC ^2 - PB ^2}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( 2x ) ^2 - ( \frac{x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{6} + \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - ( \frac{2x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{3} ) ^2}аргумента = \sqrt{аргумента: 4x ^2 - $\frac{8x ^2}{3}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{4x ^2}{3}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3}$
Из условия $x = 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ следовательно, площадь прямоугольника равна:
$S_ABCD = AB \cdot BC = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3} = \frac{x ^2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента}{6} = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot ( 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 63 = 63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $S_ABCD = AB \cdot BC = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3} = \frac{x ^2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента}{6} =$
$= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot ( 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 63 = 63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Ответ: б) $63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$AB = $\sqrt{аргумента: AO ^2 + OB ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{x ^2}{2}$ + x ^2} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3x ^2}{2}$} аргумента = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2}$
Вычислим искомое отношение:
$\frac{AB}{MN} = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} : 2x = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4x} = \sqrt{аргумента: $\frac{6}{16}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{8}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента}$
б) Продлим прямую AB до пересечения с окружностью в точке P. Тогда отрезок PC — диаметр, а угол PBC — прямой. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, то есть
$PA \cdot AB = MA \cdot KA = сильно PA \cdot \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x = сильно PA = \frac{2x ^2}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента x} = сильно PA = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{6}$ $PA \cdot AB = MA \cdot KA = сильно PA \cdot \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} x = сильно$
$ = сильно PA = \frac{2x ^2}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента x} = сильно PA = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{6}$
По теореме Пифагора для треугольника PBC получаем:
$BC = $\sqrt{аргумента: PC ^2 - PB ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( 2x ) ^2 - ( \frac{x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{6} + \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - ( \frac{2x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{3} ) ^2}аргумента = \sqrt{аргумента: 4x ^2 - $\frac{8x ^2}{3}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{4x ^2}{3}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3}$ $BC = $\sqrt{аргумента: PC ^2 - PB ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( 2x ) ^2 - ( \frac{x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{6} + \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - ( \frac{2x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{3} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - $\frac{8x ^2}{3}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{4x ^2}{3}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3}$ $BC = $\sqrt{аргумента: PC ^2 - PB ^2}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( 2x ) ^2 - ( \frac{x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{6} + \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4x ^2 - ( \frac{2x $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}{3} ) ^2}аргумента = \sqrt{аргумента: 4x ^2 - $\frac{8x ^2}{3}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{4x ^2}{3}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3}$
Из условия $x = 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ следовательно, площадь прямоугольника равна:
$S_ABCD = AB \cdot BC = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3} = \frac{x ^2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента}{6} = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot ( 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 63 = 63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $S_ABCD = AB \cdot BC = \frac{x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{3} = \frac{x ^2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента}{6} =$
$= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot ( 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 63 = 63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Ответ: б) $63 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Правильный ответ:
б) $63 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70096 • Задание №17
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, BC и AD — основания трапеции.
а) Докажите, что $дроб...
ID 71179 • Задание №18
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
$\left| дробь: числитель: x в квадрате пл...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...