[рис.] a)  По условию точки E и F  — середины сторон AB и BC соответственно, значит, отрезок EF  — средняя линия треугольника ABC и $AC = 2EF$ $AB = 2AE$ $BC = 2FC$ Окружность касается сторон треугольника AB, BC, AC и средней линии EF, следовательно, окружность вписана в четырёхугольник AEFC. Тогда суммы его противоположных сторон равны: $AE + FC = EF + AC$ Периметр треугольника равен

$P = AB + BC + AC = 2AE + 2FC + AC = 2 ( AE + FC ) + AC =$
$= 2 ( EF + AC ) + AC = 2 ( $\frac{AC}{2}$ + AC ) + AC = 4AC$ $P = AB + BC + AC = 2AE + 2FC + AC =$
$= 2 ( AE + FC ) + AC = 2 ( EF + AC ) + AC =$
$= 2 ( $\frac{AC}{2}$ + AC ) + AC = 4AC$

откуда $AC= $\frac{P}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9$
б)  Пусть $BC = x$ тогда $AB = 36 - 9 - x = 27 - x$ а по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC получаем:

$9 ^2 + x ^2 = ( 27 - x ) ^2 = сильно 9 ^2 + x ^2 = 27 ^2 - 2 \cdot 27x + x ^2 = сильно$
$ = сильно 2 \cdot 27x = 27 ^2 - 9 ^2 = сильно 2 \cdot 27x = 36 \cdot 18 = сильно x = 12$ $9 ^2 + x ^2 = ( 27 - x ) ^2 = сильно 9 ^2 + x ^2 = 27 ^2 - 2 \cdot 27x + x ^2 = сильно$
$ = сильно 2 \cdot 27x = 27 ^2 - 9 ^2 = сильно$
$ = сильно 2 \cdot 27x = 36 \cdot 18 = сильно x = 12$

Площадь треугольника ABC равна:

$S_ABC = $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BC = $\frac{1}{2}$ \cdot 9 \cdot 12 = 54$

Ответ: б)  54.