[рис.] а)  По теореме \sin ов имеем: $BC=2AO \cdot \sin 120 ^{\circ} = AO $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Четырехугольник MHNA вписан в окружность с диаметром AH, тогда по теореме \sin ов для треугольника MNA имеем:

$MN =2R \cdot \sin 120 ^{\circ}=AH \cdot \sin 120 ^{\circ} = AH \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$

Треугольники MAN и BAC подобны, поскольку

$\frac{MA}{AB} = $\frac{AN}{AC}$ = \cos 60 ^{\circ} = \frac{1}{2}$

тогда $MN= $\frac{1}{2}$ BC$ Подставляя, получаем:

$\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} AH = $\frac{1}{2}$ \cdot AO \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно AH=AO$

б)  По теореме о вписанном угле $\angle BOA = 2 \angle ACB = 2 \cdot 15 ^{\circ}= 30 ^{\circ}$ Тогда

$\angle BAO = \frac{180 ^{\circ} - 30 ^{\circ}}{2} =75 ^{\circ}$
а $\angle BAH = 180 ^{\circ} - 45 ^{\circ} = 135 ^{\circ}$ Тогда $\angle HAO = 360 ^{\circ} - 135 ^{\circ} - 75 ^{\circ} = 150 ^{\circ}$ Из доказанного в пункте a) имеем, что

$AH=AO= \frac{BC}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Найдем площадь треугольника:

$S_AHO = $\frac{1}{2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ^2 \cdot \sin 150 ^{\circ} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{5}{4}$