[рис.] Точки M и N лежат на окружности с диаметром BC, поэтому $\angle ANM = 180 ^{\circ} - \angle MNC = \angle ABC$ Значит, треугольники ANM и ABC подобны с коэффициентом подобия $\frac{AM}{AC} = \cos \angle BAC = \cos 60 ^{\circ} = \frac{1}{2}$
Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника ANM, равен $\frac{1}{2} AO$ Точки M и N лежат на окружности с диаметром AH, поэтому $AH=AO$
б)  Сумма углов треугольника $ABC$ равна 180°, поэтому $\angle ACB=75 ^{\circ}$ Тогда $\angle AOB=150 ^{\circ}$ (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда из суммы углов = бедренного треугольника AOB: $\angle OAB=15 ^{\circ}$ Поэтому

$\angle HAO=\angle CAB - \angle CAH - \angle OAB=60 ^{\circ} - 15 ^{\circ} - 15 ^{\circ}=30 ^{\circ}$

Имеем: $S_AHO= \frac{AH \cdot AO \cdot \sin 30 ^{\circ}}{2} = \frac{R ^2}{4}$ По теореме \sin ов для треугольника ABC:

$\frac{BC}{\sin \angle CAB} = \frac{6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{\sin 60 ^{\circ}} =12=2R$

Откуда $R=6$ и $S_AHO=9$

Ответ: б) $9$

Примечание Дмитрия Гущина.
[рис.]
Задания, в которых требуется использовать связь между стороной треугольника и расстоянием от противолежащей ей вершины до ортоцентра встречаются на ЕГЭ не первый раз. См., например, задание 519475 (2018 год), задание 505425 (2014 год) и задания в этом задачнике. Используем эти знания для решения пункта а).
Найдем радиус описанной окружности по теореме \sin ов: $AO = \frac{BC}{2 \sin 60 ^{\circ}} = \frac{BC}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ воспользуемся формулой для расстояния от вершины до ортоцентра $AH = \frac{BC}{\text{tg} 60 ^{\circ}} = \frac{BC}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ Полученные величины равны, что и требовалось доказать.

Приведём другое решение пункта а).
а)  Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому высота AK проходит через точку H. Пусть $AH=x$ $\angle HAM= альфа$ Тогда $AM=x \cos альфа$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника ACM равна 90°, поэтому $\angle ACM=30 ^{\circ}$ Тогда $AC=2AM=2x \cos альфа$ поскольку катет, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше гипотенузы. Сумма острых углов прямоугольного треугольника AKB равна 90°, поэтому $\angle ABK=90 ^{\circ} - альфа$ По теореме \sin ов для треугольника ABC: $\frac{AC}{\sin \angle ABC} = $\frac{AC}{\sin ( 90 в степени ( \circ ) - альфа )}$ = $\frac{AC}{\cos альфа}$ =2R$ где R  — радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности. Откуда $AC=2R \cos альфа$ Ранее мы получили: $AC=2x \cos альфа$ Следовательно, $x=R$ то есть $AH=AO$