Раскроем модуль по определению:

$x ^2 + 2a = x + |x ^2 - a| = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 + 2a = x + x ^2 - a \\[6pt] x ^2 - a\geqslant0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x ^2 + 2a = x - x ^2 + a \\[6pt] x ^2 - a\leqslant0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = $\frac{x}{3}$ \\[6pt] a меньше или = x ^2 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = x - 2x ^2 \\[6pt] a больше или = x ^2 . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

[рис.]
Изобразим решение полученной совокупности двух систем на плоскости xOa. Графиком первой системы являются участки прямой $a = \frac{x}{3}$ лежащие ниже параболы $a=x ^2$ Графиком второй системы  — часть параболы $a = x - 2x ^2$ лежащая выше параболы $a=x ^2$ Пусть вершина параболы $a=x - 2x ^2$   — точка с координатами $( x_1;a_1 )$ а точки пересечения этой параболы с параболой $a=x ^2$ суть точки $( x_0;a_0 )$ и $( x_2; a_2 )$ Найдём эти координаты.
Вершина параболы: $x_1= - $\frac{1}{2 \cdot ( - 2 )}$ = \frac{1}{4}$ $a_1= $\frac{1}{4}$ - 2 \cdot ( $\frac{1}{4}$ ) ^2 = \frac{1}{8}$
Точки пересечения парабол:

$x ^2 =x - 2x ^2 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0,x= $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right.$

Значит, $x_0 = 0; a_0=0; x_2= $\frac{1}{3}$ ; a_2= \frac{1}{9}$ Заметим, что $x_1= $\frac{1}{4}$ меньше x_2= \frac{1}{3}$
Построим график исходного уравнения (см. рис., выделено синим). По графику находим, что при $a меньше a_2$ или $a больше a_1$ уравнение имеет один корень, при $a=a_2$ или $a=a_1$   — два корня, при $a_2 меньше a меньше a_1$   — три корня. Таким образом, уравнение имеет три корня при $\frac{1}{9} меньше a меньше \frac{1}{8}$

Ответ: $( $\frac{1}{9}$ ; $\frac{1}{8}$ )$