Первый множитель имеет корни 0 и 4, они будут и корнями уравнения, если подходят в ОДЗ \log а. Второй множитель можно записать как $\log_{2} ( x - a ) ^2$ Он определен при всех $x не = a$ и равен нулю, когда $( x - a ) ^2 =1$ $x - a=\pm 1$ $x=a\pm 1$ они будут и корнями уравнения, если подходят в ОДЗ корня $x принадлежит [ 0;4 ]$
Сразу разберем случаи $a=0$ (корни второго множителя $\pm 1$ только один из них подходит, итого есть два корня) и $a=4$ (корни второго множителя 3 и 5, только один из них подходит, итого есть два корня). Больше про ОДЗ \log а можно не думать.
Далее разберем случаи, когда $a\pm1=0$ или $a\pm 1=4:$

$a + 1=0$ $a= - 1$ $x= - 2;0;4$ $ - 2$ не входит в ОДЗ корня;

$a - 1=0$ $a=1$ $x=2;0;4$ как раз три корня;

$a + 1=4$ $a=3$ $x=2;0;4$ как раз три корня;

$a - 1=4$ $a=5$ $x=6;0;4$ $6$ не входит в ОДЗ корня.

В других ситуация совпадения корней не происходит. Значит, из чисел $a + 1$ $a - 1$ ровно одно попадает в промежуток $( 0;4 )$ Это бывает при $a принадлежит ( - 1;0 ) \cup ( 0;1 ) \cup ( 3;4 ) \cup ( 4;5 )$ ( $a=0$ и $a=4$ уже разобраны и ответами не являются).

Ответ: $( - 1;0 ) \cup ( 0;1 ] \cup [ 3;4 ) \cup ( 4;5 )$