ОДЗ данного уравнения: $\sin t не = \cos t = сильно t не = $\frac{\pi}{4}$ + \pi n, n принадлежит Z$
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t )$
имеет на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ хотя бы одно решение, не = е $\frac{\pi}{4}$
Преобразуем уравнение:

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно ( \cos t + 2 ) 3k=2 \sin t$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно ( \cos t + 2 ) 3k=2 \sin t$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно$
$ = сильно ( \cos t + 2 ) 3k=2 \sin t$

Функция в правой части уравнения на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при $k больше или = 0$ Таким образом, уравнение на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ будет иметь единственный корень в случае если $9k больше или = 0$ и $6k меньше или = 2$ то есть при $k принадлежит [ 0, $\frac{1}{3}$ ]$ При $k меньше 0$ функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку $x= \frac{\pi}{4}$ В этом случае получим:

$( \cos $\frac{\pi}{4}$ + 2 ) 3k=2 \sin \frac{\pi }4 = сильно ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + 2 ) 3k= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно k= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 4 )} = \frac{2 ( 2 корень из { 2}{ - } 1 ) ,}{21}$ $( \cos $\frac{\pi}{4}$ + 2 ) 3k=2 \sin \frac{\pi }4 = сильно ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}${,}}{2} + 2 ) 3k= корень из { 2} аргумента = сильно$
$ = сильно k= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 4 )} = \frac{2 ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 1 )}{21}$

откуда получаем ответ.

Приведём другое решение.
Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ кроме точки, в которой $\sin t = \cos t$ то есть кроме точки $\frac{\pi}{4}$ На этой области имеем:

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно k = $\frac{2}{3}$ \frac{\sin t}{\cos t + 2}$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно k = $\frac{2}{3}$ \frac{\sin t}{\cos t + 2}$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно$
$ = сильно k = $\frac{2}{3}$ \frac{\sin t}{\cos t + 2}$

Найдём множество значений левой части. Пусть $f ( t ) = \frac{\sin t}{\cos t + 2}$ тогда

$f' ( t ) = $\frac{\cos t ( \cos t + 2 ) - \sin t ( - \sin t )}{( \cos t + 2 ) ^2}$ = \frac{2 \cos t + 1}{( \cos t + 2 ) ^2}$

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка $[ f ( 0 ) ; f ( $\frac{\pi}{2}$ ) ]$ кроме значения $f ( \frac{\pi }4 ) = \frac{{}{1} ,}{2 $\sqrt{2}$ + 1}$ Таким образом, $E ( f ) = [ 0; $\frac{1}{2}$ ] \setminus \{ \frac{1}{2 $\sqrt{2}$ + 1} \}$
Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка $[ 0; $\frac{1}{3}$ ]$ кроме $\frac{2}{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 3}$

Приведем третье решение.
ОДЗ данного уравнения: $\sin t не = \cos t = сильно t не = $\frac{\pi}{4}$ + \pi n, n принадлежит Z$
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t )$
имеет на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ хотя бы одно решение, не = е $\frac{\pi}{4}$
Преобразуем уравнение:

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно \sin t = $\frac{3k}{2}$ ( \cos t + 2 )$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно \sin t = $\frac{3k}{2}$ ( \cos t + 2 )$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно$
$ = сильно \sin t = $\frac{3k}{2}$ ( \cos t + 2 )$

Обозначим $\frac{3k}{2} =a$ тогда последнее уравнение примет вид $\sin t =a ( \cos t + 2 )$ В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку $( - 2;0 )$
[рис.]
Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку $\frac{\pi}{4}$
Угловой коэффициент горизонтальной прямой $a=0$
У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент $a=0,5$
У прямой, проходящей через точку $\frac{\pi}{4}$ угловой коэффициент $a= \frac{$\sqrt{2}$}{2 \cdot ( 2 + \frac{$\sqrt{2}$ ,}{2} )} = \frac{$\sqrt{2}$}{4 + $\sqrt{2}$} = \frac{2 $\sqrt{2}$ - 1}{7}$
Таким образом, условие задачи выполняется при $0 меньше или = a меньше \frac{2 $\sqrt{2}$ - 1}{7} или \frac{2 $\sqrt{2}$ - 1}{7} меньше a меньше или = \frac{1}{2}$
Вернувшись к параметру $k= \frac{2a}{3}$ получаем:

$0 меньше или = k меньше \frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21}$ или $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21} меньше k меньше или = \frac{1}{3}$

Комментарий.
Изложим идею решения иными словами.
Обозначим в исходном уравнении $x= \cos t$ $y= \sin t$ Далее заметим, что при условии $x не = y$ можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде $y= $\frac{3k}{2}$ ( x + 2 ) ( * )$ Отметим далее, что в силу введённых обозначений $x ^2 + y ^2 =1 ( ** )$ Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти ( $0 меньше или = x\leqslant1, 0 меньше или = y \leqslant1$ ) и отличные от точек прямой $y=x$

Ответ: $0 меньше или = k меньше \frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21}$ или $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21} меньше k меньше или = \frac{1}{3}$