Пусть $t= \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a )$ тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

$t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно t ^2 - ( ( 5a - 3 ) + ( 7a + 3 ) ) t + ( 5a - 3 ) ( 7a + 3 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$ $t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно$
$ = сильно t ^2 - ( ( 5a - 3 ) + ( 7a + 3 ) ) t + ( 5a - 3 ) ( 7a + 3 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$ $t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно$
$ = сильно t ^2 - ( ( 5a - 3 ) + ( 7a + 3 ) ) t + ( 5a - 3 ) ( 7a + 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции $f ( x ) = \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a )$ имеет с горизонтальными прямыми $y= 5a - 3$ и $y =7a + 3$ ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если $a= - 3$
При $a=0$ уравнение не имеет решений. Если $a больше 0$ то при $x больше a$ а если $a меньше 0$ то при $x больше - a$ имеем:

$f ( x ) = \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) = \log_{8} ( $\frac{x + a}{x - a}$ ) = \log_{8} ( 1 + $\frac{2a}{x - a}$ )$

При неограниченном увеличении x значения функции стремятся к нулю, причём, для $a меньше 0$ функция f является возрастающей, а при $a больше 0$   — убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.

[рис.]

Таким образом, при $a больше 0$ должны быть выполнены неравенства $5a - 3 больше 0, 7a + 3 больше 0$ откуда $a больше \frac{3}{5}$ при $a меньше 0$ должны быть выполнены неравенства $5a - 3 меньше 0, 7a + 3 меньше 0$ откуда $a меньше - \frac{3}{7}$

Ответ: $( - бесконечность ; - 3 ) \cup ( - 3; - $\frac{3}{7}$ ) \cup ( $\frac{3}{5}$ ; + бесконечность )$

Приведём авторское решение.

Пусть $t= \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a )$ тогда получим:

$t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$

Значит, решение исходного уравнения  — это решение уравнений $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =5a - 3$ или $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =7a + 3$
Исследуем сколько решений имеет уравнение $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =b$ в зависимости от a и $b$ При $a не = 0$ и $x больше a$ и $x больше - a$ то есть при $x больше |a|$ левая часть определена и принимает вид

$\log_{8} ( $\frac{x + a}{x - a}$ ) = \log_{8} ( 1 + $\frac{2a}{x - a}$ )$

При $x больше |a|$ выражение $1 + \frac{2a}{x - a}$ принимает по одному все значения из промежутка $( 1; + бесконечность )$ для $a больше 0$ и принимает по одному разу все значения из промежутка $( 0;1 )$ для $a меньше 0$ Значит, при $x больше |a|$ выражение $\log_{8} ( 1 + $\frac{2a}{x - a}$ )$ принимает по одному разу все значения из промежутка $( 0; + бесконечность )$ при $a больше 0$ и принимает по одному разу все значения из промежутка $( - бесконечность ;0 )$ при $a меньше 0$ Таким образом, уравнение $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =b$ имеет одно решение при $ab больше 0$ и не имеет решений при $a не = 0$ и $ab меньше или = 0$ При $a=0$ и $x больше 0$ уравнение принимает вид $0=b$ и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнение $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =5a - 3$ и $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =7a + 3$ могут иметь общие решения при $5a - 3=7a + 3$ то есть при $a= - 3$ При $a= - 3$ оба уравнения принимают вид $\log_{8} ( x - 3 ) - \log_{8} ( x + 3 ) = - 18$ и имеют одно решение.
При других значениях a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =5a - 3 и \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =7a + 3$ имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

$$$\begin{cases} ( 5a - 3 ) a больше 0 \\[6pt] ( 7a + 3 ) a больше 0 \end{cases}$$ = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - $\frac{3}{7}$ ,a больше $\frac{3}{5}$ . \end{array} \right.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству $( - бесконечность ; - 3 ) \cup ( - 3; - $\frac{3}{7}$ ) \cup ( $\frac{3}{5}$ ; + бесконечность )$