Преобразуем уравнение

$( x ^2 + 2x + 2a ) ^2 =5x в степени 4 + 5 ( x + a ) ^2 = сильно x в степени 4 + 4x ^2 ( x + a ) + 4 ( x + a ) ^2 =5x в степени 4 + 5 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 4x в степени 4 - 4x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 =0 = сильно ( 2x ^2 - x - a ) ^2 =0 = сильно 2x ^2 - x - a=0$

Положим, $f ( x ) =2x ^2 - x - a$ Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке $[ 0;2 ]$ тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу $( 0;2 )$ либо $f ( x )$ имеет единственный корень на отрезке $[ 0;2 ]$ равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ принимает при $x=0$ и $x=2$ ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при $1 + 8a=0$ или, что то же самое, при $a= - \frac{1}{8}$ При таком значении a уравнение $2x ^2 - x - a=0$ имеет единственный корень $x= \frac{1}{4}$ он принадлежит отрезку  $[ 0;2 ]$
Рассмотрим второй случай. Имеем $f ( 0 ) = - a$ и $f ( 2 ) =6 - a$ Значит, $f ( 0 ) =0$ при $a=0$ При таком значении a уравнение $2x ^2 - x - a=0$ имеет два решения $x=0$ и $x= \frac{1}{2}$ на отрезке $[ 0;2 ]$ Аналогично $f ( 2 ) =0$ при $a=6$ При таком значении a уравнение $2x ^2 - x - a=0$ имеет единственное решение $x=2$ на отрезке $[ 0;2 ]$
Рассмотрим третий случай. Значения $f ( 0 ) = - a$ и $f ( 2 ) =6 - a$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда  $ - a ( 6 - a ) меньше 0$ или, что то же самое, при $0 меньше a меньше 6$
Следовательно, уравнение $( x ^2 + 2x + 2a ) ^2 =5x в степени 4 + 5 ( x + a ) ^2$ имеет единственное решение на отрезке $[ 0;2 ]$ тогда и только тогда, когда $a= - \frac{1}{8}$ или $0 меньше a\leqslant6$

Ответ: $ - $\frac{1}{8}$ ; ( 0;6 ]$