Математика. Профильный уровень

ОДЗ данного уравнения: $\sin t не = \cos t = сильно t не = $\frac{\pi}{4}$ + \pi n, n принадлежит Z$
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t )$
имеет на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ хотя бы одно решение, не = е $\frac{\pi}{4}$
Преобразуем уравнение:

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно ( \cos t + 2 ) 3k=2 \sin t$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно ( \cos t + 2 ) 3k=2 \sin t$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно$
$ = сильно ( \cos t + 2 ) 3k=2 \sin t$

Функция в правой части уравнения на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при $k больше или = 0$ Таким образом, уравнение на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ будет иметь единственный корень в случае если $9k больше или = 0$ и $6k меньше или = 2$ то есть при $k принадлежит [ 0, $\frac{1}{3}$ ]$ При $k меньше 0$ функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку $x= \frac{\pi}{4}$ В этом случае получим:

$( \cos $\frac{\pi}{4}$ + 2 ) 3k=2 \sin \frac{\pi }4 = сильно ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + 2 ) 3k= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно k= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 4 )} = \frac{2 ( 2 корень из { 2}{ - } 1 ) ,}{21}$ $( \cos $\frac{\pi}{4}$ + 2 ) 3k=2 \sin \frac{\pi }4 = сильно ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}${,}}{2} + 2 ) 3k= корень из { 2} аргумента = сильно$
$ = сильно k= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 4 )} = \frac{2 ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 1 )}{21}$

откуда получаем ответ.

Приведём другое решение.
Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ кроме точки, в которой $\sin t = \cos t$ то есть кроме точки $\frac{\pi}{4}$ На этой области имеем:

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно k = $\frac{2}{3}$ \frac{\sin t}{\cos t + 2}$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно k = $\frac{2}{3}$ \frac{\sin t}{\cos t + 2}$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно$
$ = сильно k = $\frac{2}{3}$ \frac{\sin t}{\cos t + 2}$

Найдём множество значений левой части. Пусть $f ( t ) = \frac{\sin t}{\cos t + 2}$ тогда

$f' ( t ) = $\frac{\cos t ( \cos t + 2 ) - \sin t ( - \sin t )}{( \cos t + 2 ) ^2}$ = \frac{2 \cos t + 1}{( \cos t + 2 ) ^2}$

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка $[ f ( 0 ) ; f ( $\frac{\pi}{2}$ ) ]$ кроме значения $f ( \frac{\pi }4 ) = \frac{{}{1} ,}{2 $\sqrt{2}$ + 1}$ Таким образом, $E ( f ) = [ 0; $\frac{1}{2}$ ] \setminus \{ \frac{1}{2 $\sqrt{2}$ + 1} \}$
Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка $[ 0; $\frac{1}{3}$ ]$ кроме $\frac{2}{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 3}$

Приведем третье решение.
ОДЗ данного уравнения: $\sin t не = \cos t = сильно t не = $\frac{\pi}{4}$ + \pi n, n принадлежит Z$
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t )$
имеет на отрезке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ хотя бы одно решение, не = е $\frac{\pi}{4}$
Преобразуем уравнение:

$6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно \sin t = $\frac{3k}{2}$ ( \cos t + 2 )$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно \sin t = $\frac{3k}{2}$ ( \cos t + 2 )$ $6k - ( 2 - 3k ) \cos t=2 ( \sin t - \cos t ) = сильно$
$ = сильно 6k - 2 \cos t + 3k \cos t=2 \sin t - 2 \cos t = сильно$
$ = сильно \sin t = $\frac{3k}{2}$ ( \cos t + 2 )$

Обозначим $\frac{3k}{2} =a$ тогда последнее уравнение примет вид $\sin t =a ( \cos t + 2 )$ В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку $( - 2;0 )$
[рис.]
Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке $[ 0; $\frac{\pi}{2}$ ]$ были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку $\frac{\pi}{4}$
Угловой коэффициент горизонтальной прямой $a=0$
У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент $a=0,5$
У прямой, проходящей через точку $\frac{\pi}{4}$ угловой коэффициент $a= \frac{$\sqrt{2}$}{2 \cdot ( 2 + \frac{$\sqrt{2}$ ,}{2} )} = \frac{$\sqrt{2}$}{4 + $\sqrt{2}$} = \frac{2 $\sqrt{2}$ - 1}{7}$
Таким образом, условие задачи выполняется при $0 меньше или = a меньше \frac{2 $\sqrt{2}$ - 1}{7} или \frac{2 $\sqrt{2}$ - 1}{7} меньше a меньше или = \frac{1}{2}$
Вернувшись к параметру $k= \frac{2a}{3}$ получаем:

$0 меньше или = k меньше \frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21}$ или $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21} меньше k меньше или = \frac{1}{3}$

Комментарий.
Изложим идею решения иными словами.
Обозначим в исходном уравнении $x= \cos t$ $y= \sin t$ Далее заметим, что при условии $x не = y$ можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде $y= $\frac{3k}{2}$ ( x + 2 ) ( * )$ Отметим далее, что в силу введённых обозначений $x ^2 + y ^2 =1 ( ** )$ Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти ( $0 меньше или = x\leqslant1, 0 меньше или = y \leqslant1$ ) и отличные от точек прямой $y=x$

Ответ: $0 меньше или = k меньше \frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21}$ или $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{21} меньше k меньше или = \frac{1}{3}$

[рис.] Выразим параметр a из заданного уравнения x:

$\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) =2 = сильно $$\begin{cases} 1 - x больше 0 \\[6pt] 1 - x не = 1 \\[6pt] a - x + 2= ( 1 - x ) ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 1 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] a=x ^2 - x - 1. \end{cases}$$$ $\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) =2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 - x больше 0 \\[6pt] 1 - x не = 1 \\[6pt] a - x + 2= ( 1 - x ) ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 1 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] a=x ^2 - x - 1. \end{cases}$$$

Исходное уравнение имеет решения на полуинтервале [−1; 1) тогда и только тогда, когда прямые $y=a$ имеют общие точки с графиком функции $y=x ^2 - x - 1$ при условиях $ - 1 меньше или = x меньше 1$ $x не = 0$ Таким образом, (см. рис.), искомыми значениями параметра являются $ - $\frac{5}{4}$ меньше или = a меньше или = 1$ исключая $a = - 1$

Ответ: $a принадлежит [ - $\frac{5}{4}$ , - 1 ) \cup ( - 1,1 ]$

Приведём другое решение.
Уравнение $\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) = 2$ = сильно системе

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 - x - 1 - a=0 \\[6pt] новая строка x меньше 1 \\[6pt] новая строка x не = 0. \end{cases}$$$

[рис.]
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[ - 1, 1 )$ если уравнение $x ^2 - x - 1 - a=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку $[ - 1, 0 )$ либо промежутку $( 0, 1 )$
Поскольку графиком функции $f ( x ) =x ^2 - x - 1 - a=0$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $x= \frac{1}{2}$ уравнение $f ( x ) =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  $( 0, 1 )$ при условии

$$$\begin{cases} новая строка f ( $\frac{1}{2}$ ) меньше или = 0 \\[6pt] новая строка f ( 1 ) =f ( 0 ) больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - целая часть: 1 \\[6pt] дробная часть: числитель: 1 \\[6pt] знаменатель: 4 - a меньше или = 0 \\[6pt] новая строка - 1 - a больше 0 \end{cases}$$$

откуда $ - $\frac{5}{4}$ меньше или = a меньше - 1$ (рис. 1).
[рис.] Уравнение $f ( x ) =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[ - 1, 0 )$ при условии

$$$\begin{cases} новая строка f ( 0 ) меньше 0 \\[6pt] новая строка f ( - 1 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 1 - a меньше 0 \\[6pt] новая строка 1 - a больше или = 0 \end{cases}$$$

откуда $ - 1 меньше a меньше или = 1$  (рис. 2).
Уравнение $\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) = 2$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[ - 1, 1 )$ при $ - $\frac{5}{4}$ меньше или = a меньше - 1$ и при $ - 1 меньше a меньше или = 1$

Пусть $t= \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a )$ тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

$t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно t ^2 - ( ( 5a - 3 ) + ( 7a + 3 ) ) t + ( 5a - 3 ) ( 7a + 3 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$ $t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно$
$ = сильно t ^2 - ( ( 5a - 3 ) + ( 7a + 3 ) ) t + ( 5a - 3 ) ( 7a + 3 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$ $t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно$
$ = сильно t ^2 - ( ( 5a - 3 ) + ( 7a + 3 ) ) t + ( 5a - 3 ) ( 7a + 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции $f ( x ) = \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a )$ имеет с горизонтальными прямыми $y= 5a - 3$ и $y =7a + 3$ ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если $a= - 3$
При $a=0$ уравнение не имеет решений. Если $a больше 0$ то при $x больше a$ а если $a меньше 0$ то при $x больше - a$ имеем:

$f ( x ) = \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) = \log_{8} ( $\frac{x + a}{x - a}$ ) = \log_{8} ( 1 + $\frac{2a}{x - a}$ )$

При неограниченном увеличении x значения функции стремятся к нулю, причём, для $a меньше 0$ функция f является возрастающей, а при $a больше 0$   — убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.

[рис.]

Таким образом, при $a больше 0$ должны быть выполнены неравенства $5a - 3 больше 0, 7a + 3 больше 0$ откуда $a больше \frac{3}{5}$ при $a меньше 0$ должны быть выполнены неравенства $5a - 3 меньше 0, 7a + 3 меньше 0$ откуда $a меньше - \frac{3}{7}$

Ответ: $( - бесконечность ; - 3 ) \cup ( - 3; - $\frac{3}{7}$ ) \cup ( $\frac{3}{5}$ ; + бесконечность )$

Приведём авторское решение.

Пусть $t= \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a )$ тогда получим:

$t ^2 - 12at + 35a ^2 - 6a - 9=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=5a - 3, t=7a + 3. \end{array} \right.$

Значит, решение исходного уравнения  — это решение уравнений $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =5a - 3$ или $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =7a + 3$
Исследуем сколько решений имеет уравнение $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =b$ в зависимости от a и $b$ При $a не = 0$ и $x больше a$ и $x больше - a$ то есть при $x больше |a|$ левая часть определена и принимает вид

$\log_{8} ( $\frac{x + a}{x - a}$ ) = \log_{8} ( 1 + $\frac{2a}{x - a}$ )$

При $x больше |a|$ выражение $1 + \frac{2a}{x - a}$ принимает по одному все значения из промежутка $( 1; + бесконечность )$ для $a больше 0$ и принимает по одному разу все значения из промежутка $( 0;1 )$ для $a меньше 0$ Значит, при $x больше |a|$ выражение $\log_{8} ( 1 + $\frac{2a}{x - a}$ )$ принимает по одному разу все значения из промежутка $( 0; + бесконечность )$ при $a больше 0$ и принимает по одному разу все значения из промежутка $( - бесконечность ;0 )$ при $a меньше 0$ Таким образом, уравнение $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =b$ имеет одно решение при $ab больше 0$ и не имеет решений при $a не = 0$ и $ab меньше или = 0$ При $a=0$ и $x больше 0$ уравнение принимает вид $0=b$ и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнение $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =5a - 3$ и $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =7a + 3$ могут иметь общие решения при $5a - 3=7a + 3$ то есть при $a= - 3$ При $a= - 3$ оба уравнения принимают вид $\log_{8} ( x - 3 ) - \log_{8} ( x + 3 ) = - 18$ и имеют одно решение.
При других значениях a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения $\log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =5a - 3 и \log_{8} ( x + a ) - \log_{8} ( x - a ) =7a + 3$ имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

$$$\begin{cases} ( 5a - 3 ) a больше 0 \\[6pt] ( 7a + 3 ) a больше 0 \end{cases}$$ = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - $\frac{3}{7}$ ,a больше $\frac{3}{5}$ . \end{array} \right.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству $( - бесконечность ; - 3 ) \cup ( - 3; - $\frac{3}{7}$ ) \cup ( $\frac{3}{5}$ ; + бесконечность )$

Данное уравнение = сильно совокупности уравнений $x=a - 4$ или $x ^2 - ax + 4a - 17=0$ откуда:

$\left[ \begin{array}{l} x_1=a - 4,x_2= \frac{a + $\sqrt{аргумента: a ^2 - 16a + 68}$ аргумента}{2} , x_3= \frac{a - $\sqrt{аргумента: a ^2 - 16a + 68}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$

Сравним полученные корни, чтобы понять, какой из них наименьший, а какой наибольший.

$x_1 \vee x_2$

$a - 4 \vee \frac{a + $\sqrt{аргумента: a ^2 - 16a + 68}$ аргумента}{2}$

$a - 8 \vee $\sqrt{аргумента: ( a - 8 ) ^2 + 4}$ аргумента \Rightarrow x_1 меньше x_2$

Следовательно, x2  — наибольший корень.

$x_1 \vee x_3$

$a - 4 \vee \frac{a - $\sqrt{аргумента: a ^2 - 16a + 68}$ аргумента}{2}$

$a - 8 \vee - $\sqrt{аргумента: ( a - 8 ) ^2 + 4}$ аргумента \Rightarrow x_1 больше x_3$

Следовательно, x3  — наименьший корень.
Осталось решить неравенство $x_2 - x_3 больше или = 9$

$\sqrt{аргумента: a ^2 - 16a + 68} аргумента больше или = 9 = сильно a ^2 - 16a - 13\geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше или = 8 - $\sqrt{аргумента: 77}$ аргумента ,a больше или = 8 + $\sqrt{аргумента: 77}$ аргумента . \end{array} \right.$

Заметим, что

$8 меньше $\sqrt{аргумента: 77}$ аргумента меньше 9, 16 меньше 8 + $\sqrt{аргумента: 77}$ аргумента меньше 17$

Поэтому наш ответ  — число 17.

Ответ: 17.

Преобразуем уравнение

$( x ^2 + 2x + 2a ) ^2 =5x в степени 4 + 5 ( x + a ) ^2 = сильно x в степени 4 + 4x ^2 ( x + a ) + 4 ( x + a ) ^2 =5x в степени 4 + 5 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 4x в степени 4 - 4x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 =0 = сильно ( 2x ^2 - x - a ) ^2 =0 = сильно 2x ^2 - x - a=0$

Положим, $f ( x ) =2x ^2 - x - a$ Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке $[ 0;2 ]$ тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу $( 0;2 )$ либо $f ( x )$ имеет единственный корень на отрезке $[ 0;2 ]$ равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ принимает при $x=0$ и $x=2$ ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при $1 + 8a=0$ или, что то же самое, при $a= - \frac{1}{8}$ При таком значении a уравнение $2x ^2 - x - a=0$ имеет единственный корень $x= \frac{1}{4}$ он принадлежит отрезку  $[ 0;2 ]$
Рассмотрим второй случай. Имеем $f ( 0 ) = - a$ и $f ( 2 ) =6 - a$ Значит, $f ( 0 ) =0$ при $a=0$ При таком значении a уравнение $2x ^2 - x - a=0$ имеет два решения $x=0$ и $x= \frac{1}{2}$ на отрезке $[ 0;2 ]$ Аналогично $f ( 2 ) =0$ при $a=6$ При таком значении a уравнение $2x ^2 - x - a=0$ имеет единственное решение $x=2$ на отрезке $[ 0;2 ]$
Рассмотрим третий случай. Значения $f ( 0 ) = - a$ и $f ( 2 ) =6 - a$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда  $ - a ( 6 - a ) меньше 0$ или, что то же самое, при $0 меньше a меньше 6$
Следовательно, уравнение $( x ^2 + 2x + 2a ) ^2 =5x в степени 4 + 5 ( x + a ) ^2$ имеет единственное решение на отрезке $[ 0;2 ]$ тогда и только тогда, когда $a= - \frac{1}{8}$ или $0 меньше a\leqslant6$

Ответ: $ - $\frac{1}{8}$ ; ( 0;6 ]$

Преобразуем уравнение:

$( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно x в степени 4 - 2x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x + a ) ^2 = 0 = сильно x ^2 + x + a = 0$ $( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно x в степени 4 - 2x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x + a ) ^2 = 0 = сильно x ^2 + x + a = 0$

Положим $f ( x ) = x ^2 + x + a$ Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке $[ - 1; 1 ]$ тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку $[ - 1; 1 ]$ либо $f ( x )$ имеет на отрезке $[ - 1; 1 ]$ корень, равный –1 или 1, и не имеет других корней на этом отрезке, либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ принимает при $x = - 1$ и $x = 1$ ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при $1 - 4a = 0$ или, что то же самое, при $a = 0,25$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет единственный корень $x = - 0,5$ он принадлежит отрезку  $[ - 1; 1 ]$
Рассмотрим второй случай. Имеем $f ( - 1 ) = a$ и $f ( 1 ) = 2 + a$ Значит, $f ( - 1 ) = 0$ при $a = 0$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет два решения $x = 0$ и $x = - 1$ на отрезке $[ - 1; 1 ]$ Аналогично $f ( 1 ) = 0$ при $a = - 2$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет единственное решение $x = 1$ на отрезке $[ - 1; 1 ]$
Рассмотрим третий случай. Значения $f ( - 1 ) = a$ и $f ( 1 ) = 2 + a$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда $a ( 2 + a ) меньше 0$ или, что то же самое, при $a принадлежит ( - 2; 0 )$
Следовательно, уравнение $( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2$ имеет единственное решение на отрезке $[ - 1; 1 ]$ тогда и только тогда, когда $ - 2 меньше или = a меньше 0$ или $a = 0,25$

Ответ: $ - 2 меньше или = a меньше 0$ $a = 0,25$

Сделаем замену $y=ax - x ^2$ Получаем:

$4y + $\frac{1}{y}$ + 4=0 = сильно $\frac{4y ^2 + 4y + 1}{y}$ =0 = сильно $\frac{( 2y + 1 ) ^2}{y}$ =0 = сильно y= - \frac{1}{2}$

Следовательно, $x ^2 - ax - $\frac{1}{2}$ =0$ Дискриминант этого уравнения равен $a ^2 + 2 больше 0$ поэтому оно при всех значениях a имеет ровно два различных корня. Положим $f ( x ) =x ^2 - ax - \frac{1}{2}$ Так как $f ( 0 ) = - $\frac{1}{2}$ меньше 0$ оба корня уравнения $f ( x ) =0$ принадлежат промежутку $[ - 1;1 )$ тогда и только тогда, когда $f ( - 1 ) \geqslant0$ и $f ( 1 ) больше 0$ то есть когда $1 + a - $\frac{1}{2}$ \geqslant0$ и $1 - a - $\frac{1}{2}$ больше 0$ Значит, уравнение $4 ( ax - x ^2 ) + $\frac{1}{ax - x ^2}$ + 4=0$ имеет ровно два различных корня на промежутке $[ - 1;1 )$ при $ - 0,5 меньше или = a меньше 0,5$

Ответ: $ - 0,5 меньше или = a меньше 0,5$

[рис.] В системе координат хOa изобразим окружность, задаваемую уравнением $( x - 1 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 = 5$ все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу $a = x ^2$ точки которой соответствуют нулям знаменателя.
Подставляя $a = x ^2$ в уравнение $( x - 1 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 = 5$ и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: $( 0; 0 )$ $( 2; 4 )$ и $( - 1; 1 )$   — точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.
Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $a не = q 0$ $a не = q 1$ $a не = q 4$

Ответ: $a принадлежит ( 2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ; 0 ) \cup ( 0; 1 ) \cup ( 1; 4 ) \cup ( 4; 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента )$

Приведем решение Тофига Алиева.
Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если числитель имеет два различных корня, а знаменатель не равен 0. Числитель имеет два различных корня, если дискриминант положителен:

$( - 2 ) ^2 - 4 ( a ^2 - 4a ) больше 0 = сильно 2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Исключим значения параметра а, при которых знаменатель обращается в 0. Подставив в числитель $a = x ^2$ получим

$x ^2 - 2x + x в степени 4 - 4x ^2 = x ( x - 2 ) + x ^2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = x ( x - 2 ) ( x ^2 + 2x + 1 ) = x ( x - 2 ) ( x + 1 ) ^2$ $x ^2 - 2x + x в степени 4 - 4x ^2 = x ( x - 2 ) + x ^2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) =$
$= x ( x - 2 ) ( x ^2 + 2x + 1 ) = x ( x - 2 ) ( x + 1 ) ^2$

Следовательно, числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль при $x = 0$ $x = - 1$ и $x = 2$ при условии $a = x ^2$ или $a = 0$ $a = 1$ и $a = 4$ Эти значения параметра а должны быть исключены.
Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $a не = q 0$ $a не = q 1$ $a не = q 4$

Заметим, что

$\frac{x ^2 - 4x + a}{5x ^2 - 6ax + a ^2} =0 = сильно $$\begin{cases} x ^2 - 4x + a=0 \\[6pt] 5x ^2 - 6ax + a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] ( 5x - a ) ( x - a ) не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] a не = x \\[6pt] a не = 5x. \end{cases}$$$ $\frac{x ^2 - 4x + a}{5x ^2 - 6ax + a ^2} =0 = сильно $$\begin{cases} x ^2 - 4x + a=0 \\[6pt] 5x ^2 - 6ax + a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] ( 5x - a ) ( x - a ) не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] a не = x \\[6pt] a не = 5x. \end{cases}$$$

[рис.]
Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.
Ординаты точек пересечения параболы $a= - x ^2 + 4x$ и прямой $a=x$ найдём из уравнения $a= - a ^2 + 4a$ Получаем $a=0$ или $a=3$
Ординаты точек пересечения параболы $a= - x ^2 + 4x$ и прямой $a=5x$ найдём из уравнения $a= - $\frac{a ^2}{25}$ + \frac{4a}{5}$ Получаем $a=0$ или $a= - 5$
Ровно два решения исходное уравнение имеет при $a меньше - 5$ $ - 5 меньше a меньше 0$ $0 меньше a меньше 3$ $3 меньше a меньше 4$

Ответ: $( - бесконечность ; - 5 ) \cup ( - 5; 0 ) \cup ( 0; 3 ) \cup ( 3; 4 )$

Заметим, что

$\frac{2a - x ^2 - 3x}{x + a ^2} =0 = сильно $$\begin{cases} 2a - x ^2 - 3x=0 \\[6pt] x + a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= $\frac{x ^2 + 3x}{2}$ \\[6pt] x не = - a ^2 . \end{cases}$$$

[рис.]
Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.
Ординаты точек пересечения парабол $a= \frac{x ^2 + 3x}{2}$ и $x= - a ^2$ найдём из уравнения $a= \frac{a в степени 4 - 3a ^2}{2}$

$a в степени 4 - 3a ^2 - 2a=0$
$a ( a ^3 - 3a - 2 ) =0$
$a ( a + 1 ) ( a ^2 - a - 2 ) =0$
$a ( a + 1 ) ^2 ( a - 2 ) =0$

Получаем $a= - 1$ или $a=0$ или $a=2$
Вершина параболы $a= \frac{x ^2 + 3x}{2}$ в точке $( - $\frac{3}{2}$ ; - $\frac{9}{8}$ )$
Ровно два решения исходное уравнение имеет при $ - $\frac{9}{8}$ меньше a меньше - 1$ $ - 1 меньше a меньше 0$ $0 меньше a меньше 2$ $a больше 2$

Ответ: $a принадлежит ( - $\frac{9}{8}$ ; - 1 ) \cup ( - 1;0 ) \cup ( 0;2 ) \cup ( 2; + бесконечность )$

Заметим, что

$\frac{x ^2 - 4x + a}{x ^2 - 6ax + 5a ^2} =0 = сильно $$\begin{cases} x ^2 - 4x + a=0 \\[6pt] x ^2 - 6ax + 5a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] ( x - 5a ) ( x - a ) не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] a не = x \\[6pt] a не = $\frac{x}{5}$ . \end{cases}$$$ $\frac{x ^2 - 4x + a}{x ^2 - 6ax + 5a ^2} =0 = сильно $$\begin{cases} x ^2 - 4x + a=0 \\[6pt] x ^2 - 6ax + 5a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] ( x - 5a ) ( x - a ) не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - x ^2 + 4x \\[6pt] a не = x \\[6pt] a не = $\frac{x}{5}$ . \end{cases}$$$

[рис.]
Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.
Ординаты точек пересечения параболы $a= - x ^2 + 4x$ и прямой $a=x$ найдём из уравнения $a= - a ^2 + 4a$ Получаем $a=0$ или $a=3$
Ординаты точек пересечения параболы $a= - x ^2 + 4x$ и прямой $a= \frac{x}{5}$ найдём из уравнения $a= - 25a ^2 + 20a$ Получаем $a=0$ или $a= \frac{19}{25}$
Ровно два решения исходное уравнение имеет при $a меньше 0$ $0 меньше a меньше \frac{19}{25}$ $\frac{19}{25} меньше a меньше 3$ $3 меньше a меньше 4$

Ответ: $( - бесконечность ; 0 ) \cup ( 0; $\frac{19}{25}$ ) \cup ( $\frac{19}{25}$ ; 3 ) \cup ( 3; 4 )$

Запишем функцию в виде $y= \frac{5a + 10 ( 15 - a ) x}{( 10x + a ) ^2 + 25}$ Если при некоторых значениях а существуют такие числа x0, x1, что выполняются равенства $0= \frac{5a + 10 ( 15 - a ) x_0}{( 10x_0 + a ) ^2 + 25}$ и $1= \frac{5a + 10 ( 15 - a ) x_1}{( 10x_1 + a ) ^2 + 25}$ то отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции.
Первое уравнение:

$0= $\frac{5a + 10 ( 15 - a ) x}{( 10x + a ) ^2 + 25}$ = сильно 10 ( a - 15 ) x=5a$

Уравнение имеет решение при любом $a не = 15$
Второе уравнение:

$1= $\frac{5a + 10 ( 15 - a ) x}{( 10x + a ) ^2 + 25}$ = сильно 100x ^2 + 30 ( a - 5 ) x + a ^2 - 5a + 25=0$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

$D=900 ( a - 5 ) ^2 - 400 ( a ^2 - 5a + 25 ) \geqslant0 = сильно 500 ( a ^2 - 14a + 25 ) \geqslant0 = сильно$
$ = сильно ( a - 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) ( a - 7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) \geqslant0$

Решением этого неравенства является множество $( - бесконечность ;7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ]$ $[ 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; + бесконечность )$
Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

$a принадлежит ( - бесконечность ;7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ] \cup [ 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ;15 ) \cup ( 15; + бесконечность )$

Ответ: $( - бесконечность ;7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ] \cup [ 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ;15 ) \cup ( 15; + бесконечность )$

Сделаем замену $t= \cos x$ и найдём корни уравнения

$t ^2 - a ^2 t + ( a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ ) ( a - $\frac{1}{2}$ ) =0$      (*)
[рис.]
по теореме, обратной теореме Виета:

$\left[ \begin{array}{l} t=a - $\frac{1}{2}$ ,t=a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$

Заметим, что если $\frac{1}{2} меньше t меньше 1$ то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же $t=1$ или $0 меньше или = t меньше или = \frac{1}{2}$ то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня.
В системе координат aOt графиком уравнения (*) является объединение прямой $t=a - \frac{1}{2}$ и параболы $t=a ^2 - a + \frac{1}{2}$ [рис.] Заметим, что прямая является касательной к параболе в точке $a=1$ (это следует из того, что уравнение $a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ = a - \frac{1}{2}$ имеет единственное решение).
Требуется найти такие a, при которых уравнение $( * )$ имеет ровно один корень на $[ 0; $\frac{1}{2}$ ] \cup \{ 1 \}$ и при этом не имеет корней на $( $\frac{1}{2}$ ;1 )$ Это выполняется при $a=a_1,0 меньше или = a меньше a_2, a=1,a=a_3$ Найдём значения $a_1,a_2и a_3$
Значение $a_1$ является меньшим корнем уравнения $a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ =1$ получаем: $a_1= \frac{1 - $\sqrt{3}$}{2}$ Значение $a_2$ является корнем уравнения $a - $\frac{1}{2}$ =0$ получаем: $a_2= \frac{1}{2}$ Значение $a_3$ является корнем уравнения $a - $\frac{1}{2}$ =1$ получаем: $a_3= \frac{3}{2}$
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке $( - $\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ при $a= \frac{1 - $\sqrt{3}$}{2} , 0 меньше или = a меньше $\frac{1}{2}$ ,a=1,a= \frac{3}{2}$

Ответ: $[ 0; $\frac{1}{2}$ ) \cup \{ \frac{1 - $\sqrt{3}$}{2} ,1, $\frac{3}{2}$ \}$

Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

$\frac{9x ^2 - a ^2}{x ^2 + 8x + 16 - a ^2} =0 = сильно $\frac{( 3x - a ) ( 3x + a )}{( x + 4 ) ^2 - a ^2}$ =0 = сильно $\frac{( 3x - a ) ( 3x + a )}{( x + 4 - a ) ( x + 4 + a )}$ =0 = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=3x \\[6pt] a= - 3x \end{cases}$$ . a не = x + 4,a не = - x - 4. \end{array} \right.$ $\frac{9x ^2 - a ^2}{x ^2 + 8x + 16 - a ^2} =0 = сильно $\frac{( 3x - a ) ( 3x + a )}{( x + 4 ) ^2 - a ^2}$ =0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( 3x - a ) ( 3x + a )}{( x + 4 - a ) ( x + 4 + a )}$ =0 = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=3x \\[6pt] a= - 3x \end{cases}$$ . a не = x + 4,a не = - x - 4. \end{array} \right.$

[рис.]
Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено оранжевым) будет совокупность двух прямых $a=3x,a= - 3x$ исключая точки, которые лежат на прямых $a=x + 4,a= - x - 4$ а именно: точки $( - 1;3 ) , ( - 1; - 3 ) , ( 2;6 ) , ( 2; - 6 )$
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$a меньше - 6; - 6 меньше a меньше - 3; - 3 меньше a меньше 0;0 меньше a меньше 3;3 меньше a меньше 6;иa больше 6$

Ответ: $( - бесконечность ; - 6 ) \cup ( - 6; - 3 ) \cup ( - 3;0 ) \cup ( 0;3 ) \cup ( 3;6 ) \cup ( 6; + бесконечность )$

Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

$\frac{4x ^2 - a ^2}{x ^2 + 6x + 9 - a ^2} =0 = сильно $\frac{( 2x - a ) ( 2x + a )}{( x + 3 ) ^2 - a ^2}$ =0 = сильно $\frac{( 2x - a ) ( 2x + a )}{( x + 3 - a ) ( x + 3 + a )}$ =0 = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x \\[6pt] a= - 2x \end{cases}$$ . a не = x + 3,a не = - x - 3. \end{array} \right.$ $\frac{4x ^2 - a ^2}{x ^2 + 6x + 9 - a ^2} =0 = сильно $\frac{( 2x - a ) ( 2x + a )}{( x + 3 ) ^2 - a ^2}$ =0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( 2x - a ) ( 2x + a )}{( x + 3 - a ) ( x + 3 + a )}$ =0 = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x \\[6pt] a= - 2x \end{cases}$$ . a не = x + 3,a не = - x - 3. \end{array} \right.$

[рис.]
Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено синим) будет совокупность двух прямых $a=2x,a= - 2x$ исключая точки, которые лежат на прямых $a=x + 3,a= - x - 3$ а именно: точки $( - 1;2 ) , ( - 1; - 2 ) , ( 3;6 ) , ( 3; - 6 )$
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$a меньше - 6; - 6 меньше a меньше - 2; - 2 меньше a меньше 0;0 меньше a меньше 2;2 меньше a меньше 6;иa больше 6$

Ответ: $( - бесконечность ; - 6 ) \cup ( - 6; - 2 ) \cup ( - 2;0 ) \cup ( 0;2 ) \cup ( 2;6 ) \cup ( 6; + бесконечность )$