[рис.] Выразим параметр a из заданного уравнения x:

$\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) =2 = сильно $$\begin{cases} 1 - x больше 0 \\[6pt] 1 - x не = 1 \\[6pt] a - x + 2= ( 1 - x ) ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 1 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] a=x ^2 - x - 1. \end{cases}$$$ $\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) =2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 - x больше 0 \\[6pt] 1 - x не = 1 \\[6pt] a - x + 2= ( 1 - x ) ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 1 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] a=x ^2 - x - 1. \end{cases}$$$

Исходное уравнение имеет решения на полуинтервале [−1; 1) тогда и только тогда, когда прямые $y=a$ имеют общие точки с графиком функции $y=x ^2 - x - 1$ при условиях $ - 1 меньше или = x меньше 1$ $x не = 0$ Таким образом, (см. рис.), искомыми значениями параметра являются $ - $\frac{5}{4}$ меньше или = a меньше или = 1$ исключая $a = - 1$

Ответ: $a принадлежит [ - $\frac{5}{4}$ , - 1 ) \cup ( - 1,1 ]$

Приведём другое решение.
Уравнение $\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) = 2$ = сильно системе

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 - x - 1 - a=0 \\[6pt] новая строка x меньше 1 \\[6pt] новая строка x не = 0. \end{cases}$$$

[рис.]
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[ - 1, 1 )$ если уравнение $x ^2 - x - 1 - a=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку $[ - 1, 0 )$ либо промежутку $( 0, 1 )$
Поскольку графиком функции $f ( x ) =x ^2 - x - 1 - a=0$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $x= \frac{1}{2}$ уравнение $f ( x ) =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  $( 0, 1 )$ при условии

$$$\begin{cases} новая строка f ( $\frac{1}{2}$ ) меньше или = 0 \\[6pt] новая строка f ( 1 ) =f ( 0 ) больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - целая часть: 1 \\[6pt] дробная часть: числитель: 1 \\[6pt] знаменатель: 4 - a меньше или = 0 \\[6pt] новая строка - 1 - a больше 0 \end{cases}$$$

откуда $ - $\frac{5}{4}$ меньше или = a меньше - 1$ (рис. 1).
[рис.] Уравнение $f ( x ) =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[ - 1, 0 )$ при условии

$$$\begin{cases} новая строка f ( 0 ) меньше 0 \\[6pt] новая строка f ( - 1 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 1 - a меньше 0 \\[6pt] новая строка 1 - a больше или = 0 \end{cases}$$$

откуда $ - 1 меньше a меньше или = 1$  (рис. 2).
Уравнение $\log_{левая} круглая скобка 1 - x ) ( a - x + 2 ) = 2$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[ - 1, 1 )$ при $ - $\frac{5}{4}$ меньше или = a меньше - 1$ и при $ - 1 меньше a меньше или = 1$