Найдите все значения a, при которых уравнение
$( x ^2 - x - a ) ^2 =2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2$
имеет единственное решение на отрезке [−1; 1].
$( x ^2 - x - a ) ^2 =2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2$
имеет единственное решение на отрезке [−1; 1].
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем уравнение:
$( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно x в степени 4 - 2x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x + a ) ^2 = 0 = сильно x ^2 + x + a = 0$ $( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно x в степени 4 - 2x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x + a ) ^2 = 0 = сильно x ^2 + x + a = 0$
Положим $f ( x ) = x ^2 + x + a$ Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке $[ - 1; 1 ]$ тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку $[ - 1; 1 ]$ либо $f ( x )$ имеет на отрезке $[ - 1; 1 ]$ корень, равный –1 или 1, и не имеет других корней на этом отрезке, либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ принимает при $x = - 1$ и $x = 1$ ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при $1 - 4a = 0$ или, что то же самое, при $a = 0,25$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет единственный корень $x = - 0,5$ он принадлежит отрезку $[ - 1; 1 ]$
Рассмотрим второй случай. Имеем $f ( - 1 ) = a$ и $f ( 1 ) = 2 + a$ Значит, $f ( - 1 ) = 0$ при $a = 0$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет два решения $x = 0$ и $x = - 1$ на отрезке $[ - 1; 1 ]$ Аналогично $f ( 1 ) = 0$ при $a = - 2$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет единственное решение $x = 1$ на отрезке $[ - 1; 1 ]$
Рассмотрим третий случай. Значения $f ( - 1 ) = a$ и $f ( 1 ) = 2 + a$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда $a ( 2 + a ) меньше 0$ или, что то же самое, при $a принадлежит ( - 2; 0 )$
Следовательно, уравнение $( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2$ имеет единственное решение на отрезке $[ - 1; 1 ]$ тогда и только тогда, когда $ - 2 меньше или = a меньше 0$ или $a = 0,25$
Ответ: $ - 2 меньше или = a меньше 0$ $a = 0,25$
$( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно x в степени 4 - 2x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x + a ) ^2 = 0 = сильно x ^2 + x + a = 0$ $( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно x в степени 4 - 2x ^2 ( x + a ) + ( x + a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x + a ) ^2 = 0 = сильно x ^2 + x + a = 0$
Положим $f ( x ) = x ^2 + x + a$ Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке $[ - 1; 1 ]$ тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку $[ - 1; 1 ]$ либо $f ( x )$ имеет на отрезке $[ - 1; 1 ]$ корень, равный –1 или 1, и не имеет других корней на этом отрезке, либо квадратный трёхчлен $f ( x )$ принимает при $x = - 1$ и $x = 1$ ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен $f ( x )$ имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при $1 - 4a = 0$ или, что то же самое, при $a = 0,25$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет единственный корень $x = - 0,5$ он принадлежит отрезку $[ - 1; 1 ]$
Рассмотрим второй случай. Имеем $f ( - 1 ) = a$ и $f ( 1 ) = 2 + a$ Значит, $f ( - 1 ) = 0$ при $a = 0$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет два решения $x = 0$ и $x = - 1$ на отрезке $[ - 1; 1 ]$ Аналогично $f ( 1 ) = 0$ при $a = - 2$ При таком значении a уравнение $x ^2 + x + a = 0$ имеет единственное решение $x = 1$ на отрезке $[ - 1; 1 ]$
Рассмотрим третий случай. Значения $f ( - 1 ) = a$ и $f ( 1 ) = 2 + a$ имеют разные знаки тогда и только тогда, когда $a ( 2 + a ) меньше 0$ или, что то же самое, при $a принадлежит ( - 2; 0 )$
Следовательно, уравнение $( x ^2 - x - a ) ^2 = 2x в степени 4 + 2 ( x + a ) ^2$ имеет единственное решение на отрезке $[ - 1; 1 ]$ тогда и только тогда, когда $ - 2 меньше или = a меньше 0$ или $a = 0,25$
Ответ: $ - 2 меньше или = a меньше 0$ $a = 0,25$
Правильный ответ:
$минус 2 меньше или равно a меньше 0$ $a = 0,25$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71796 • Задание №19
На длинной лавочке сидят в ряд 50 человек, из них ровно 44 Владимира. Каждый загадывает желание, но сбывается ...
ID 67718 • Задание №13
а) Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 4 косинус 2x минус 2 синус 2x конец аргумента =2 косинус x$...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...