[рис.] В системе координат хOa изобразим окружность, задаваемую уравнением $( x - 1 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 = 5$ все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу $a = x ^2$ точки которой соответствуют нулям знаменателя.
Подставляя $a = x ^2$ в уравнение $( x - 1 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 = 5$ и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: $( 0; 0 )$ $( 2; 4 )$ и $( - 1; 1 )$   — точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.
Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $a не = q 0$ $a не = q 1$ $a не = q 4$

Ответ: $a принадлежит ( 2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ; 0 ) \cup ( 0; 1 ) \cup ( 1; 4 ) \cup ( 4; 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента )$

Приведем решение Тофига Алиева.
Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если числитель имеет два различных корня, а знаменатель не равен 0. Числитель имеет два различных корня, если дискриминант положителен:

$( - 2 ) ^2 - 4 ( a ^2 - 4a ) больше 0 = сильно 2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Исключим значения параметра а, при которых знаменатель обращается в 0. Подставив в числитель $a = x ^2$ получим

$x ^2 - 2x + x в степени 4 - 4x ^2 = x ( x - 2 ) + x ^2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = x ( x - 2 ) ( x ^2 + 2x + 1 ) = x ( x - 2 ) ( x + 1 ) ^2$ $x ^2 - 2x + x в степени 4 - 4x ^2 = x ( x - 2 ) + x ^2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) =$
$= x ( x - 2 ) ( x ^2 + 2x + 1 ) = x ( x - 2 ) ( x + 1 ) ^2$

Следовательно, числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль при $x = 0$ $x = - 1$ и $x = 2$ при условии $a = x ^2$ или $a = 0$ $a = 1$ и $a = 4$ Эти значения параметра а должны быть исключены.
Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше 2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $a не = q 0$ $a не = q 1$ $a не = q 4$