Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:
$\frac{\log_{левая} круглая скобка 2025 ) ( x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 ) - \log_{левая} круглая скобка 2025 ) ( 2x ^2 + x + a ^2 - a + 2025 )}{$\sqrt{аргумента: 3x - a + 2025}$ аргумента \cdot \log_{левая} круглая скобка 2025 ) ( 2x + a - 3 )} = 0$
имеет единственный корень.
$\frac{\log_{левая} круглая скобка 2025 ) ( x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 ) - \log_{левая} круглая скобка 2025 ) ( 2x ^2 + x + a ^2 - a + 2025 )}{$\sqrt{аргумента: 3x - a + 2025}$ аргумента \cdot \log_{левая} круглая скобка 2025 ) ( 2x + a - 3 )} = 0$
имеет единственный корень.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Аргументы \log ов в числителе дроби положительны:
$x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 = x ^2 + 2ax + a ^2 + x + a + 2026= ( x + a ) ^2 + ( x + a ) + 2026=$
$= ( x + a ) ^2 + 2 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot ( x + a ) + $\frac{1}{4}$ + 2026 - $\frac{1}{4}$ = ( x + a + $\frac{1}{2}$ ) ^2 + целая часть: 2025, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 больше 0$
Значит, исходное уравнение = сильно системе
$$$\begin{cases} x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 = 2x ^2 + x + a ^2 - a + 2025 \\[6pt] 3x - a + 2025 больше 0 \\[6pt] 2x + a - 3 больше 0 \\[6pt] 2x + a - 3 не = 1. \end{cases}$$ . = сильно$
Решим уравнение из полученной системы:
$x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 - ( 2x ^2 + x + a ^2 - a + 2025 ) =0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - ( 2a + 1 - 1 ) x - 1 \cdot ( 2a + 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - 1, x=2a + 1. \end{array} \right.$
Число −1 является корнем исходного уравнения при
$$$\begin{cases} 3 \cdot ( - 1 ) - a + 2025 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( - 1 ) + a - 3 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( - 1 ) + a - 3 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше 2022 \\[6pt] a больше 5 \\[6pt] a не = 6 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 5 меньше a меньше 6, 6 меньше a меньше 2022. \end{array} \right.$
Число $2a + 1$ является корнем исходного уравнения при
$$$\begin{cases} 3 \cdot ( 2a + 1 ) - a + 2025 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( 2a + 1 ) + a - 3 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( 2a + 1 ) + a - 3 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 5a больше - 2028 \\[6pt] 5a больше 1 \\[6pt] 5a не = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше $\frac{1}{5}$ \\[6pt] a не = $\frac{2}{5}$ \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{1}{5}$ меньше a меньше $\frac{2}{5}$ , a больше $\frac{2}{5}$ . \end{array} \right.$
Числа −1 и $2a + 1$ совпадают при $a= - 1$ но при таком значении a, эти числа не являются корнями уравнения. Следовательно, ни при каких значениях a корни уравнения не совпадают.
[рис.] Таким образом, исходное уравнение
— при $5 меньше a меньше 6$ и $6 меньше a меньше 2022$ имеет два корня;
— при $\frac{1}{5} меньше a меньше \frac{2}{5}$ $\frac{2}{5} меньше a меньше или = 5$ $a=6$ и $a больше или = 2022$ имеет один корень;
— при прочих значениях a корней не имеет.
Ответ: $( $\frac{1}{5}$ ; $\frac{2}{5}$ ) \cup ( $\frac{2}{5}$ ; 5 ] \cup \{ 6 \} \cup [ 2022; + бесконечность )$
$x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 = x ^2 + 2ax + a ^2 + x + a + 2026= ( x + a ) ^2 + ( x + a ) + 2026=$
$= ( x + a ) ^2 + 2 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot ( x + a ) + $\frac{1}{4}$ + 2026 - $\frac{1}{4}$ = ( x + a + $\frac{1}{2}$ ) ^2 + целая часть: 2025, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 больше 0$
Значит, исходное уравнение = сильно системе
$$$\begin{cases} x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 = 2x ^2 + x + a ^2 - a + 2025 \\[6pt] 3x - a + 2025 больше 0 \\[6pt] 2x + a - 3 больше 0 \\[6pt] 2x + a - 3 не = 1. \end{cases}$$ . = сильно$
Решим уравнение из полученной системы:
$x ^2 + ( 2a + 1 ) x + a ^2 + a + 2026 - ( 2x ^2 + x + a ^2 - a + 2025 ) =0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - ( 2a + 1 - 1 ) x - 1 \cdot ( 2a + 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - 1, x=2a + 1. \end{array} \right.$
Число −1 является корнем исходного уравнения при
$$$\begin{cases} 3 \cdot ( - 1 ) - a + 2025 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( - 1 ) + a - 3 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( - 1 ) + a - 3 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше 2022 \\[6pt] a больше 5 \\[6pt] a не = 6 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 5 меньше a меньше 6, 6 меньше a меньше 2022. \end{array} \right.$
Число $2a + 1$ является корнем исходного уравнения при
$$$\begin{cases} 3 \cdot ( 2a + 1 ) - a + 2025 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( 2a + 1 ) + a - 3 больше 0 \\[6pt] 2 \cdot ( 2a + 1 ) + a - 3 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 5a больше - 2028 \\[6pt] 5a больше 1 \\[6pt] 5a не = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше $\frac{1}{5}$ \\[6pt] a не = $\frac{2}{5}$ \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{1}{5}$ меньше a меньше $\frac{2}{5}$ , a больше $\frac{2}{5}$ . \end{array} \right.$
Числа −1 и $2a + 1$ совпадают при $a= - 1$ но при таком значении a, эти числа не являются корнями уравнения. Следовательно, ни при каких значениях a корни уравнения не совпадают.
[рис.] Таким образом, исходное уравнение
— при $5 меньше a меньше 6$ и $6 меньше a меньше 2022$ имеет два корня;
— при $\frac{1}{5} меньше a меньше \frac{2}{5}$ $\frac{2}{5} меньше a меньше или = 5$ $a=6$ и $a больше или = 2022$ имеет один корень;
— при прочих значениях a корней не имеет.
Ответ: $( $\frac{1}{5}$ ; $\frac{2}{5}$ ) \cup ( $\frac{2}{5}$ ; 5 ] \cup \{ 6 \} \cup [ 2022; + бесконечность )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 6 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2022; плюс бесконечность правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64307 • Задание №1
[рис.] В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 120°, $AC = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента...
ID 66950 • Задание №11
Решите систему неравенств $система выражений новая строка \left| x плюс 2 | минус x\left| x | меньше или равно...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...