Пусть $t ( x ) = 5 x + \left|x - a ^2 | - 4|x + 1| - a ^2$ тогда $t ^2 + ( a + 2 ) t + 1 = 0$ Раскроем модули:

$t ( x ) = $$\begin{cases} 8x + 4 \\[6pt] при x меньше - 1 \\[6pt] - 4 \\[6pt] при - 1 меньше или = x меньше или = a ^2 \\[6pt] 2x - 4 - 2a ^2 \\[6pt] при x больше a ^2 . \end{cases}$$$

[рис.]
При любом значении x из отрезка $[ - 1;a ^2 ]$ значение функции $y=t ( x )$ = $y=t ( - 1 ) =t ( a ^2 ) = - 4$ На $( - бесконечность ; - 1 ) \cup ( a ^2 ; + бесконечность )$ функция $y=t ( x )$   — неограниченно возрастает (см. рис.) и принимает любое значение, кроме $y= - 4$ причем каждое ровно один раз.
Поскольку исходное уравнение должно иметь ровно два различных корня, квадратное уравнение $t ^2 + ( a + 2 ) t + 1 = 0$ должно иметь два решения, каждое из которых отлично от −4. Тогда:

$$$\begin{cases} ( a + 2 ) ^2 - 4 больше 0 \\[6pt] 16 - 4 ( a + 2 ) + 1 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a меньше - 4 \\[6pt] a больше 0 \end{cases}$$ . a не = $\frac{9}{4}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - 4, 0 меньше a меньше $\frac{9}{4}$ , a больше $\frac{9}{4}$ . \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 4 ) \cup ( 0 ; $\frac{9}{4}$ ) \cup ( $\frac{9}{4}$ ; + бесконечность )$