Область допустимых значений неравенства задаётся системой

$$$\begin{cases} 6 + x - x ^2 больше или = 0 \\[6pt] x не = 2a \\[6pt] x не = a - 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - 2 меньше или = x меньше или = 3 \\[6pt] x не = 2a \\[6pt] x не = a - 2. \end{cases}$$$

[рис.]
Рассмотрим два случая.
1 случай. Если $6 + x - x ^2 =0$ то на ОДЗ неравенство верно.
2 случай. Если $6 + x - x ^2 больше 0$ то

$$$\begin{cases} $\frac{1}{x - 2a}$ меньше или = $\frac{1}{2x - 2a + 4}$ \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{x + 4}{( x - 2a ) ( x - a + 2 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{1}{( x - 2a ) ( x - a + 2 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} $\frac{1}{x - 2a}$ меньше или = $\frac{1}{2x - 2a + 4}$ \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{x + 4}{( x - 2a ) ( x - a + 2 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{1}{( x - 2a ) ( x - a + 2 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} $\frac{1}{x - 2a}$ меньше или = $\frac{1}{2x - 2a + 4}$ \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{x + 4}{( x - 2a ) ( x - a + 2 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{1}{( x - 2a ) ( x - a + 2 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] - 2 меньше x меньше 3. \end{cases}$$$

Изобразим синим цветом в системе координат xOa решения первого и второго случаев.
Таким образом,
—  при $a меньше - 1$ исходное неравенство имеет два решения;
—  при $a= - 1$   — одно решение;
—  при $ - 1 меньше a меньше 5$   — бесконечное число решений;
—  при $a=5$   — одно решение;
—  при $a больше 5$   — два решения.

Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ) \cup ( 5; + бесконечность )$

Примечание.
Запишем решения данного неравенства при различных значениях параметра:
—  если $a меньше - 1$ то $x= - 2$ или $x=3$
—  если $a= - 1$ то $x=3$
—  если $ - 1 меньше a меньше 0$ то $ - 2 меньше или = x меньше 2a$ или $x=3$
—  если $a=0$ то $ - 2 меньше x меньше 0$ или $x=3$
—  если $0 меньше a меньше 1,5$ то $x= - 2$ или $a - 2 меньше x меньше 2a$ или $x=3$
—  если $a=1,5$ то $x= - 2$ или $ - 0,5 меньше x меньше 3$
—  если $1,5 меньше a меньше 5$ то $a - 2 меньше x меньше или = 3$
—  если $a=5$ то $x= - 2$
—  если $a больше 5$ то $x= - 2$ или $x=3$