Пусть $t=3y$ Каждому значению переменной y соответствует ровно одно значение переменной t, значит, при такой замене количество решений системы не изменится. Получаем:

$$$\begin{cases} |x - 4| + |t|=2 \\[6pt] t ^2 + x ^2 - 8x + 4 ( a + 3 ) =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} |x - 4| + |t|=2 \\[6pt] ( x - 4 ) ^2 + t ^2 =4 - 4a \end{cases}$$$

При $4 - 4a меньше 0$ второе уравнение, а значит, и вся система не имеет решений. При $4 - 4a=0$ решением второго уравнения является только пара чисел $( 4;0 )$ которая не является решением первого уравнения, поэтому система не имеет решений. [рис.] При $4 - 4a больше 0$ в системе координат xOt графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $( 4;0 )$ и радиусом $r= $\sqrt{аргумента: 4 - 4a}$ аргумента$ а графиком первого уравнения являются стороны квадрата с вершинами в точках $( 2;0 )$ $( 4;2 )$ $( 6;0 )$ и $( 4; - 2 )$ Тогда ровно четыре решения система имеет в случаях, если окружность является либо вписанной в квадрат $( r= $\sqrt{2}$ )$ либо описанной около квадрата $( r=2 )$ в остальных случаях система либо не имеет решений, либо имеет восемь решений. Значит,

$\left[ \begin{array}{l} $\sqrt{аргумента: 4 - 4a}$ аргумента = $\sqrt{2}$ , $\sqrt{аргумента: 4 - 4a}$ аргумента =2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,5,a=0. \end{array} \right.$

Ответ: $\{ 0, 0,5 \}$