[рис.] Преобразуем первое уравнение системы:

$десятичный \log ( 2|x| + 3|y| ) = десятичный \log 6 = сильно 2|x| + 3|y| = 6 = сильно 3|y| = 6 - 2|x| = сильно |y| = 2 - $\frac{2}{3}$ |x|$ $десятичный \log ( 2|x| + 3|y| ) = десятичный \log 6 = сильно 2|x| + 3|y| = 6 = сильно$
$ = сильно 3|y| = 6 - 2|x| = сильно |y| = 2 - $\frac{2}{3}$ |x|$

График этого уравнения  — ромб. Его получают отражением лежащей в первой четверти отрезка прямой $y = 2 - $\frac{2}{3}$ x$ относительно оси Oy, а затем отражением построенных отрезков относительно оси Ox. Вершины этого ромба  — точки $A ( - 3; 0 )$ $B ( 0; 2 )$ $C ( 3; 0 )$ $D ( 0; - 2 )$
Преобразуем второе уравнение системы:

$x ^2 - 1 + a ^2 = - y ^2 + 2ay = сильно x ^2 + y ^2 - 2ay + a ^2 - 1 = 0 = сильно x ^2 + ( y - a ) ^2 = 1$ $x ^2 - 1 + a ^2 = - y ^2 + 2ay = сильно$
$ = сильно x ^2 + y ^2 - 2ay + a ^2 - 1 = 0 = сильно x ^2 + ( y - a ) ^2 = 1$

Это уравнение задает на плоскости семейство окружностей радиуса 1, центры которых находятся в точке $M ( 0; a )$ Изобразим полученные графики на рисунке.
Из графика видно, что окружность при «спуске» по оси Oy не имеет общих точек с ромбом, пока не пройдет через его вершину B. В этом случае:

$0 ^2 + ( 2 - a ) ^2 = 1 = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 - a = - 1, 2 - a = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a = 3, a = 1. \end{array} \right.$

При $a = 3$ окружность имеет одну общую точку с ромбом  — этот случай обозначен фиолетовым, а при $a = 1$   — три общие точки  — обозначен синим. Следовательно, при $1 меньше a меньше 3$ окружность и ромб имеют две точки пересечения.
Кроме того, две точки пересечения окружность и ромб имеют, если стороны ромба являются касательными к ней  — этот случай обозначен красным. Рассмотрим, например, сторону BC. Ее уравнение $2x + 3y = 6$ точка касания находится от центра окружности $M ( 0; a )$ на расстоянии, = м радиусу, то есть 1. По формуле расстояния между точкой и прямой получаем:

$\frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 2 ^2 + 3 ^2}$ аргумента} = 1 = сильно \frac{|3a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента} = 1 = сильно |3a - 6| = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента \underset a меньше 1 \mathop = сильно 6 - 3a = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = сильно a = 2 - \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3}$ $\frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 2 ^2 + 3 ^2}$ аргумента} = 1 = сильно \frac{|3a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента} = 1 = сильно$
$ = сильно |3a - 6| = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента \underset a меньше 1 \mathop = сильно 6 - 3a = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = сильно a = 2 - \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3}$ $\frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 2 ^2 + 3 ^2}$ аргумента} = 1 = сильно$
$ = сильно \frac{|3a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента} = 1 = сильно |3a - 6| = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента \underset a меньше 1 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно 6 - 3a = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = сильно a = 2 - \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3}$

Ромб обладает центральной симметрией, точка пересечения его диагоналей совпадает с началом координат, поэтому остальные значения параметра, удовлетворяющие задаче, можно получить изменением знака уже полученных на противоположные.
Таким образом, $a принадлежит ( - 3; - 1 ) \cup \{ \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} - 2; 2 - \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} \} \cup ( 1; 3 )$

Ответ: $( - 3; - 1 ) \cup \{ \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} - 2; 2 - \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} \} \cup ( 1; 3 )$