График первого уравнения симметричен относительно осей координат, поэтому построим его при $x больше или = 0$ и $y больше или = 0$ а затем достроим график, используя симметрию. Имеем:

$$$\begin{cases} ( |y| + x ^2 - 4 ) ( |x| + y ^2 - 4 ) ( x ^2 + y ^2 - |x| - |y| ) = 0 \\[6pt] x больше или = 0 \\[6pt] y больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} y=4 - x ^2 \\[6pt] y= $\sqrt{аргумента: 4 - x}$ аргумента \\[6pt] ( x - $\frac{1}{2}$ ) ^2 + ( y - $\frac{1}{2}$ ) ^2 = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . x больше или = 0 , y больше или = 0. \end{array} \right.$

[рис.]
Таким образом, график первого уравнения исходной системы представляет собой объединение частей парабол и дуг окружностей (выделено оранжевым). Заметим, что полученный график также симметричен относительно прямых $y=x$ и $y= - x$ Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1. Проанализируем построенные графики.
Прямая $y=x + a$ является касательной к части графика первого уравнения, задаваемой функцией $y=x ^2 - 4$ в точке c абсциссой

$( x ^2 - 4 ) '=1 = сильно 2x=1 = сильно x=0,5$

а именно в точке $A ( 0,5; - 3,75 )$ то есть при

$ - 3,75=0,5 + a = сильно a= - 4,25$

В силу симметрии эта же прямая (выделена синим) является касательной к графику первого уравнения в точке $B ( 3,75; - 0,5 )$
Найдём координаты точки C  — точки пересечения графиков $y=x ^2 - 4$ и $x=y ^2 - 4$ при положительных значениях x и отрицательных значениях y:

$x ^2 - 4= - x = сильно x ^2 + x - 4=0 \underset x больше 0 \mathop = сильно x= \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{2}$

Прямая $y=x + a$ (выделено зелёным) проходит через точку $C ( \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}${} аргумента} 2; \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 17}${} аргумента} 2 )$ при

$\frac{1 - $\sqrt{аргумента: 17}${} аргумента} 2= \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}${} аргумента} 2 + a = сильно a=1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$

Прямая $y=x + a$ (выделена красным) является касательной к дуге окружности $( x - $\frac{1}{2}$ ) ^2 + ( y + $\frac{1}{2}$ ) ^2 = \frac{1}{2}$ в точке $D ( 1; - 1 )$ при

$ - 1=1 + a = сильно a= - 2$

Найдём количество решений системы при неположительных значениях параметра a. Получаем, что исходная система
— при $a меньше - 4,25$ не имеет решений;
— при $a= - 4,25$ имеет два решения;
— при $ - 4,25 меньше a меньше 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$   — четыре решения;
— при $a=1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$   — три решения;
— при $1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента меньше a меньше - 2$   — четыре решения;
— при $ - 2 меньше или = a меньше или = 0$   — более четырёх решений.
В силу симметричности четыре решения исходная система будет иметь также при $2 меньше a меньше $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 1$ и $\sqrt{аргумента: 17} аргумента - 1 меньше a меньше 4,25$

Ответ: $( - 4,25; 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ) \cup ( 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ; - 2 ) \cup ( 2; $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 1 ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 1; 4,25 )$