Пусть $t=x ^2 + x + 1$ тогда

$( t + 2a ^2 ) ^2 =4 \cdot 2a ^2 t = сильно t ^2 + 2 \cdot 2a ^2 t + ( 2a ^2 ) ^2 =4 \cdot 2a ^2 t = сильно$
$ = сильно t ^2 - 2 \cdot 2a ^2 t + ( 2a ^2 ) ^2 =0 = сильно ( t - 2a ^2 ) ^2 =0 = сильно t - 2a ^2 =0$

Вернувшись к исходной переменной, получим квадратное уравнение $x ^2 + x + 1 - 2a ^2 =0$ Квадратное уравнение имеет ровно один корень, тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$1 - 4 \cdot ( 1 - 2a ^2 ) =0 = сильно 8a ^2 =3 = сильно a ^2 = $\frac{6}{16}$ = сильно a=\pm \frac{$\sqrt{6}$}{4}$

Ответ: $\{ - \frac{$\sqrt{6}$}{4} ; \frac{$\sqrt{6}$}{4} \}$