Первое уравнение системы = сильно уравнению $( x - 2 ( a + 1 ) ) ^2 + ( y - a ) ^2 =1$ Это уравнение задает окружность ω радиусом 1 с центром в точке $( 2a + 2; a )$ Второе уравнение системы задает пару прямых $y=x$ и $y= - x$ пересекающихся в точке $( 0; 0 )$
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда окружность ω пересекается с каждой из прямых $y=x$ и $y= - x$ в двух точках и не проходит через точку их пересечения $( 0; 0 )$
Число точек пересечения окружности с прямой $y=x$ = числу корней квадратного уравнения

$2x ^2 - 2 ( 3a + 2 ) x + 5a ^2 + 8a + 3=0$

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

$4 ( 3a + 2 ) ^2 - 8 ( 5a ^2 + 8a + 3 ) больше 0 = сильно a ^2 + 4a + 2 меньше 0 = сильно - 2 - $\sqrt{2}$ меньше a меньше - 2 + \sqrt{2}$ $4 ( 3a + 2 ) ^2 - 8 ( 5a ^2 + 8a + 3 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 + 4a + 2 меньше 0 = сильно - 2 - $\sqrt{2}$ меньше a меньше - 2 + \sqrt{2}$

Число точек пересечения окружности с прямой $y= - x$ = числу корней квадратного уравнения

$2x ^2 - 2 ( a + 2 ) x + 5a ^2 + 8a + 3=0$

Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

$4 ( a + 2 ) ^2 - 8 ( 5a ^2 + 8a + 3 ) больше 0 = сильно 9a ^2 + 12a + 2 меньше 0 = сильно \frac{ - 2 - $\sqrt{2}$}{3} меньше a меньше \frac{ - 2 + $\sqrt{2}$}{3}$ $4 ( a + 2 ) ^2 - 8 ( 5a ^2 + 8a + 3 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно 9a ^2 + 12a + 2 меньше 0 = сильно \frac{ - 2 - $\sqrt{2}$}{3} меньше a меньше \frac{ - 2 + $\sqrt{2}$}{3}$

Окружность проходит через точку $( 0; 0 )$ при $5a ^2 + 8a + 3=0$ то есть при $a= - 1$ и $a= - 0,6$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при

$\frac{ - 2 - $\sqrt{2}$}{3} меньше a меньше - 1, - 1 меньше a меньше - 0,6, - 0,6 меньше a меньше - 2 + \sqrt{2}$

Ответы: $\frac{ - 2 - $\sqrt{2}$}{3} меньше a меньше - 1, - 1 меньше a меньше - 0,6, - 0,6 меньше a меньше - 2 + \sqrt{2}$