Запишем систему в виде

$$$\begin{cases} ( x - a ) ^2 + ( y + 2a ) ^2 = ( 1 + a ) ^2 \\[6pt] ( x + 2a ) ^2 + ( y - 2a ) ^2 = ( 2 + a ) ^2 . \end{cases}$$$

При а  =  −1 имеем систему

$$$\begin{cases} ( x + 1 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 =0 \\[6pt] ( x - 2 ) ^2 + ( y + 2 ) ^2 =1. \end{cases}$$$

Эта система решений не имеет. Следовательно, а  =  −1 не удовлетворяет условию задачи.
При а  =  −2 имеем систему

$$$\begin{cases} ( x + 2 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 =1 \\[6pt] ( x - 4 ) ^2 + ( y + 4 ) ^2 =0. \end{cases}$$$

Эта система тоже решений не имеет. Следовательно, и а  =  −2 не удовлетворяет условию задачи.

Если а ≠ −1, а ≠ −2 , то каждое уравнение системы есть уравнение окружности. В этом случае система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда расстояние между центрами этих окружностей = сумме или разности их радиусов.
Пусть а ≠ −1, а ≠ −2. Расстояние O1O2 между центрами O1(a, −2a) и O2(−2a, 2a) = $O_1O_2= $\sqrt{аргумента: 9a ^2 + 16a ^2}$ аргумента =5|a|$ а радиусы $R_1=|a + 1|$ и $R_2=|a + 2|$ Решим два уравнения: (1) $O_1O_2=R_1 + R_2$ и (2) $O_1O_2=|R_1 - R_2|$
Уравнение (1) имеет вид $5|a|=|a + 1| + |a + 2|$ уравнение (2) имеет вид $5|a|=||a + 1| - |a + 2||$ Решением уравнения (1) являются числа 1 и $ - \frac{3}{7}$ Решением уравнения (2) являются числа $\pm \frac{1}{5}$

Ответ: $ - $\frac{3}{7}$ ; - $\frac{1}{5}$ ; $\frac{1}{5}$ ;1$