[рис.] При $x меньше - a$ уравнение $|x ^2 + a ^2 - 6 x - 4 a|=2 x + 2a$ не имеет корней, поскольку его левая часть принимает неотрицательные значения, а правая  — отрицательные.
При $x больше или = - a$ уравнение $|x ^2 + a ^2 - 6 x - 4 a|=2 x + 2a$ = сильно совокупности двух уравнений:

$x ^2 + a ^2 - 6 x - 4 a=2 x + 2 a$ и $x ^2 + a ^2 - 6 x - 4 a= - 2 x - 2 a$

При $x \geqslant - a$ уравнение $x ^2 + a ^2 - 6 x - 4 a=2 x + 2 a$ принимает вид:

$x ^2 + a ^2 - 8 x - 6 a=0 = сильно ( x - 4 ) ^2 + ( a - 3 ) ^2 =25$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Оxа дугу ω1 окружности с центром в точке (4; 3) радиусом 5, лежащую в полуплоскости $a \geqslant - x$ с концами в точках (0; 0) и (1; −1).
При $x \geqslant - a$ уравнение $x ^2 + a ^2 - 6 x - 4 a= - 2 x - 2 a$ принимает вид:

$x ^2 + a ^2 - 4 x - 2 a=0 ; ( x - 2 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =5$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Оха дугу ω2 окружности с центром в точке (2; 1) радиусом $\sqrt{аргумента: 5} аргумента$ лежащую в полуплоскости $a \geqslant - x$ с концами в точках (0; 0) и (1; −1).
Число корней исходного уравнения = числу точек пересечения прямой $a=c$ с объединением дуг ω1 и ω2.
Дуга ω1 пересекается с прямой $a=c$ в двух точках при $ - 2 меньше c \leqslant - 1$ и $0 меньше или = c меньше 8$ в одной точке при $c= - 2$ $ - 1 меньше c меньше 0$ и $c=8$ и не пересекается при $c меньше - 2$ и $c больше 8$
Дуга ω2 пересекается с прямой $a=c$ в двух точках при $1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше c \leqslant - 1$ и $0 меньше или = c меньше 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ в одной точке при $c=1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $ - 1 меньше c меньше 0$ и $c=1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ и не пересекается при $c меньше 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ и $c больше 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
При $c= - 1$ и при $c=0$ прямая $a=c$ проходит через общую точку дуг ω1 и ω2.
Следовательно, исходное уравнение имеет четыре различных корня при $1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше - 1$ и $0 меньше a меньше 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Ответ: $1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше a меньше - 1$ $0 меньше a меньше 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$