При $1 меньше или = x меньше или = 3$ модуль раскрывается «со знаком - »: $f ( x ) = - x ^2 + ( a + 4 ) x - a - 4$ На отрезке [1; 3] график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз.
При $x\leqslant1$ или $x\geqslant3$ модуль раскрывается «со знаком + »: $f ( x ) =x ^2 + ( a - 4 ) x - a + 2$ График функции на этих лучах представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы может лежать левее отрезка [1; 3], правее этого отрезка или на самом отрезке. Рассмотрим эти случаи.

[рис.]

[рис.]

Если $x_в\leqslant1$ и $x_в\geqslant3$ то есть если

$\left[ \begin{array}{l} - $\frac{a - 4}{2}$ \geqslant3, - $\frac{a - 4}{2}$ \leqslant1, \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a - 4\leqslant - 6,a - 4\geqslant - 2, \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a\leqslant - 2,a\geqslant2, \end{array} \right.$

то наименьшее значение функции достигается в вершине, абсцисса которой $\frac{4 - a}{2}$ Оно = :

$( $\frac{4 - a}{2}$ ) ^2 + ( a - 4 ) ( $\frac{4 - a}{2}$ ) - a + 2= $\frac{( 4 - a ) ^2}{4}$ - $\frac{( 4 - a ) ^2}{2}$ - a + 2= - $\frac{( 4 - a ) ^2}{4}$ - a + 2=$ $( $\frac{4 - a}{2}$ ) ^2 + ( a - 4 ) ( $\frac{4 - a}{2}$ ) - a + 2=$
$= $\frac{( 4 - a ) ^2}{4}$ - $\frac{( 4 - a ) ^2}{2}$ - a + 2= - $\frac{( 4 - a ) ^2}{4}$ - a + 2=$
$= - $\frac{16 - 8a + a ^2}{4}$ - a + 2= - 2 + a - \frac{a ^2}{4}$

По условию требуется, чтобы наименьшее значение было меньше −2:

$ - 2 + a - $\frac{a ^2}{4}$ меньше - 2 = сильно a - $\frac{a ^2}{4}$ меньше 0 = сильно a ^2 - 4a больше 0 = сильно a ( a - 4 ) больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a больше 4,a меньше 0. \end{array} \right.$ $ - 2 + a - $\frac{a ^2}{4}$ меньше - 2 = сильно a - $\frac{a ^2}{4}$ меньше 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 4a больше 0 = сильно a ( a - 4 ) больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a больше 4,a меньше 0. \end{array} \right.$

С учетом того, что $a принадлежит ( - бесконечность ; - 2 ] \cup [ 2, + бесконечность )$ получаем: $a принадлежит ( - бесконечность ; - 2 ] \cup ( 4, + бесконечность )$
[рис.]
Осталось рассмотреть случай, когда вершина параболы, ветви которой направлены вверх, лежит на отрезке [1; 3]. В этом случае параметр $a принадлежит [ - 2;2 ]$ а наименьшее значение функции достигается на концах отрезка. Найдем $f ( 1 ) = - 1$ и $f ( 3 ) =2a - 1$ Наименьшее значение функции может быть меньше −2, только если $2a - 1 меньше - 2$ то есть при $a меньше - \frac{1}{2}$ Учитывая ограничения на a, получаем: $ - 2 меньше или = a меньше - \frac{1}{2}$
Объединяя найденные значения параметра, получаем ответ: $a принадлежит ( - бесконечность ; - $\frac{1}{2}$ ) \cup ( 4; + бесконечность )$

Приведем другое решение.
Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к + бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наименьшего значения. Тогда для того, чтобы наименьшее значение функции $f ( x ) =ax - a - 1 + |x ^2 - 4x + 3|$ было меньше −2, необходимо и достаточно, чтобы неравенство $f ( x ) меньше - 2$ имело решение. Запишем его в виде

$|x ^2 - 4x + 3| меньше - a ( x - 1 ) - 1$

и построим графики левой и правой частей неравенства.
[рис.]
График левой части неравенства  — парабола (см. рис.), пересекающая ось абсцисс в точках 1 и 3, с отражённой относительно оси абсцисс отрицательной частью. График правой части неравенства  — пучок прямых, проходящих через точку (1; −1).
Нетрудно заметить, что неравенство имеет решения, когда графики имеют более одной точки пересечения. То есть когда прямая проходит выше точки (3; 0) или выше точки касания с параболой на луче (−∞; 1].
В первом случае угловой коэффициент $ - a$ прямой $y= - a ( x - 1 ) - 1$ должен быть больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (3; 0). Имеем: $ - a ( 3 - 1 ) - 1 больше 0 = сильно a меньше - \frac{1}{2}$
Во втором случае запишем уравнение $ - a ( x - 1 ) - 1=x ^2 - 4x + 3$ в виде $x ^2 + ( a - 4 ) x - a + 4=0$ и найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D= ( a - 4 ) ^2 + 4 ( a - 4 ) = ( a - 4 ) a$ Парабола имеет с касательной единственную общую точку, поэтому касанию соответствует дискриминант, равный нулю, откуда a = 0 или a = 4. Подходит только положительный корень, соответствующий отрицательному угловому коэффициенту прямой.
Таким образом, получаем ответ: $a принадлежит ( - бесконечность ; - $\frac{1}{2}$ ) \cup ( 4; + бесконечность )$
Ответ: $a принадлежит ( - бесконечность ; - $\frac{1}{2}$ ) \cup ( 4; + бесконечность )$

Примечание Льва Бреслава (Санкт-⁠Петербург).
Во втором решении ссылка на то, что функция непрерывна и на бесконечностях стремится к + бесконечности является существенной. Например, для внешне очень похожей функции $g ( x ) =ax ^2 - a - 1 + |x ^2 - 4x + 3|$ аналогичная переформулировка не будет = сильна изначальной задаче.

Примечание редакции Решу ЕГЭ.
Полностью соглашаясь с предыдущим замечанием, отметим, что на ЕГЭ снижать оценку ученику за отсутствие указанного обоснования неправильно. Смоленская комиссия ЕГЭ в 2019 году оценила второе решение одним баллом из четырёх, объяснив на апелляции, что решающий должен явно показать, что рассматриваемая им функция достигает наименьшего значения. Работа была перепроверена Рособрнадзором, принявшим решение о выставлении полного балла. Подробности этой истории подробно описаны Дмитрием Гущиным здесь, ряд интересных комментариев есть здесь.