Так как $m!=2 \cdot k! + 2 \cdot n!$ то $n меньше m$ и $k меньше m$ Возможны два случая.
1.  Если $n меньше k$ тогда $4 \cdot k! больше 2 \cdot k! + 2 \cdot n!=m! больше или = ( k + 1 ) \cdot k!$ откуда $4 больше k + 1$ и $n меньше k меньше или = 2$ Полученному условию удовлетворят только $n=1$ тогда $k=2$ откуда $m!=2 \cdot k! + 2 \cdot n! = 2 + 4 = 6$ а значит, $m=3$
2.  Если $n больше или = k$ тогда $4 \cdot n! больше или = 2 \cdot k! + 2 \cdot n!=m! больше или = ( n + 1 ) \cdot n!$ откуда $4 больше или = n + 1$ и $k меньше или = n меньше или = 3$ Далее перебором значений $1 меньше или = n меньше или = 3,1 меньше или = k меньше или = 3$ при условии $n больше или = k$ ищем оставшиеся решения.

n | k | m! = 2k! + 2n! | m

3 | 3 | 24 | 4

3 | 2 | 16 | нет решений

3 | 1 | 14 | нет решений

2 | 2 | 8 | нет решений

2 | 1 | 6 | 3

1 | 1 | 4 | нет решений

Ответ: $k=1,n=2,m=3;k=n=3,m=4;k=2,n=1,m=3$