Если число p является делителем числа $k ^3 + 9k$ то оно является также и делителем числа $k ( k ^3 + 9k ) =k в степени 4 + 9k ^2$ Но если число p является общим делителем чисел $k в степени 4 + 12k ^2 + 12$ и $k в степени 4 + 9k ^2$ то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа

$( k в степени 4 + 12k ^2 + 12 ) - ( k в степени 4 + 9k ^2 ) =3k ^2 + 12$

Аналогично получаем:

1)  число p является общим делителем чисел $k ^3 + 9k$ и $3k ^2 + 12$ значит, p является делителем числа

$3 ( k ^3 + 9k ) - k ( 3k ^2 + 12 ) =15k$

2)  число p является общим делителем чисел $3k ^2 + 12$ и $15k$ значит, p является делителем числа

$5 ( 3k ^2 + 12 ) - k15k=60$

Число 60 имеет ровно три различных простых делителя  — 2, 3 и 5. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем чисел $k в степени 4 + 12k ^2 + 12$ и $k ^3 + 9k$

Если число k  — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 3, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число $k=1$ то число 5 является общим делителем данных чисел.

Ответ: 2, 3, 5.