а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа $n ^2$ и $( n + 24 ) ^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что $n ^2$ и $( n + m ) ^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что $n ^2$ и $( n + m ) ^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Например годится $38 ^2 =1444$ поскольку $62 ^2 =3844$
б) Для этого нужно, чтобы
$( n + 24 ) ^2 - n ^2 =576 + 48n$
делилось на 100. На 4 оно точно делится, а для делимости на 25 нужно, чтобы
$576 + 48n - 550 - 50n=26 - 2n=2 ( 13 - n )$
делилось на 25. Это возможно в том и только том случае, когда n дает остаток 13 при делении на 25. Таких чисел среди любых 25 чисел подряд ровно одно, поэтому среди всех 900 трехзначных чисел их ровно 36.
в) Нужно, чтобы
$( n + m ) ^2 - n ^2 =m ( 2n + m )$
делилось на 100 ровно для 36 чисел. Разберем случаи, чему может быть равен наибольший общий делитель m и 100.
Если 1, то второй множитель должен быть кратен 100, при этом остатки от деления на 100 повторяются группой по 50 (то есть для $n=1,51,101,\ldots$ остатки одинаковые, но до этого повторений не будет). Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 18.
Если 2, то второй множитель должен быть кратен 50, при этом остатки от деления его на 50 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле поскольку m четно, то подходящее n точно есть, поэтому их 36. Итак, подходят все четные числа, не кратные 4 или 5.
Если 4, то второй множитель должен быть кратен 25, при этом остатки от деления его на 25 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле их всегда 36, потому что среди чисел 2, 4, 6, ... 24, 26, 28, ... 50 попадаются все возможные остатки от деления на 25. Поэтому иногда делимость на 25 будет.
Если 5 или больше, то второй множитель должен делиться на какое-то конкретное число, не превосходящее 20. Остатки от деления на такое число зацикливаются не более чем за 20 чисел, поэтому будет либо ни одного подходящего остатка, либо сразу минимум $\frac{900}{20} =45$
Итак, годятся четные числа, не кратные 5. В каждом десятке таких 4, Значит, всего их $4\times 9=36$
Ответ: а) 38; б) 36; в) 36.
б) Для этого нужно, чтобы
$( n + 24 ) ^2 - n ^2 =576 + 48n$
делилось на 100. На 4 оно точно делится, а для делимости на 25 нужно, чтобы
$576 + 48n - 550 - 50n=26 - 2n=2 ( 13 - n )$
делилось на 25. Это возможно в том и только том случае, когда n дает остаток 13 при делении на 25. Таких чисел среди любых 25 чисел подряд ровно одно, поэтому среди всех 900 трехзначных чисел их ровно 36.
в) Нужно, чтобы
$( n + m ) ^2 - n ^2 =m ( 2n + m )$
делилось на 100 ровно для 36 чисел. Разберем случаи, чему может быть равен наибольший общий делитель m и 100.
Если 1, то второй множитель должен быть кратен 100, при этом остатки от деления на 100 повторяются группой по 50 (то есть для $n=1,51,101,\ldots$ остатки одинаковые, но до этого повторений не будет). Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 18.
Если 2, то второй множитель должен быть кратен 50, при этом остатки от деления его на 50 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле поскольку m четно, то подходящее n точно есть, поэтому их 36. Итак, подходят все четные числа, не кратные 4 или 5.
Если 4, то второй множитель должен быть кратен 25, при этом остатки от деления его на 25 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле их всегда 36, потому что среди чисел 2, 4, 6, ... 24, 26, 28, ... 50 попадаются все возможные остатки от деления на 25. Поэтому иногда делимость на 25 будет.
Если 5 или больше, то второй множитель должен делиться на какое-то конкретное число, не превосходящее 20. Остатки от деления на такое число зацикливаются не более чем за 20 чисел, поэтому будет либо ни одного подходящего остатка, либо сразу минимум $\frac{900}{20} =45$
Итак, годятся четные числа, не кратные 5. В каждом десятке таких 4, Значит, всего их $4\times 9=36$
Ответ: а) 38; б) 36; в) 36.
Правильный ответ:
а) 38; б) 36; в) 36
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67772 • Задание №13
а) Решите уравнение: $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 ко...
ID 71426 • Задание №19
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось н...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...