а)  Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся 18n, а после перехода одного учащегося в школу № 2 суммарный балл стал равняться 19,8(n − 1). Таким образом, суммарный балл уменьшился на 1,8(11 − n). Это число должно быть натуральным, поскольку равняется количеству баллов перешедшего в школу № 2 учащегося. Значит, этот учащийся набрал 9 баллов и n  =  6.
б)  В школе № 1 тест писали 6 учащихся, один из которых набрал 9 баллов. При этом суммарно они набрали 108 баллов. Значит, наибольшее количество баллов у учащегося с лучшим результатом могло быть тогда, когда сумма баллов остальных пяти учащихся была наименьшей, то есть когда они набрали 1, 2, 3, 4 и 9 баллов. В этом случае наибольший балл равен 89.
в)  Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, а средний балл равнялся B. Тогда получаем:

$1,1 ( m + 1 ) B - mB=9 = сильно ( m + 11 ) B = 90$

Таким образом, число 90 должно делиться на m + 11. При этом m + 11 > 21, поскольку m > 10. Число 90 имеет 3 делителя, больших 21: 30, 45 и 90. Значит, m + 11 ≥ 30, откуда m ≥ 19.
Покажем, что число m может равняться 19. Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, один учащийся набрал 9 баллов, один учащийся набрал 27 баллов и 4 учащихся набрали по 18 баллов, в школе № 2 писали тест 19 учащихся и каждый набрал по 3 балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 9 баллов.

Ответ: а)  6; б)  89; в)  19.