Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй  — B, в третьей  — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.
а)  Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.
б)  Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение $10A + 6x + 10B + 9y + C=19 ( A + B + C )$ или $6x + 9y=9A + 9B + 18C$ что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, $9A больше или = 9x больше 6x$ откуда $9B больше или = 9y$ то есть $18C меньше 0$ Противоречие.
в)  Рассмотрим частное новой суммы и старой:

$\frac{10A + 6x + 10B + 9y + C}{A + B + C} =1 + \frac{6x + 9y + 9A + 9B}{A + B + C}$

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное из всех, то его выгодно обменять местами с минимальным (это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель), а затем заменить на единицу (это уменьшит знаменатель и не изменит числитель). Имеем:

$1 + $\frac{6x + 9y + 9A + 9B}{A + B + C}$ =1 + $\frac{6 + 9y + 9A + 9B}{A + B + 1}$ =10 + \frac{9y - 3}{A + B + 1}$

При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть $2, 3, \ldots, y + 2$ Получим:

$10 + $\frac{9y - 3}{A + B + 1}$ =10 + $\frac{9y - 3}{1 + 2 + 3 + \ldots + ( y + 2 )}$ =10 + \frac{18y - 6}{( y + 3 ) ( y + 2 )}$

Найдем значения полученного выражения при различных y:

y  =  1: $10 + $\frac{12}{12}$ =11$
y  =  2: $10 + $\frac{30}{20}$ =11,5$
y  =  3: $10 + $\frac{48}{30}$ =11,6$
y  =  4: $10 + $\frac{66}{42}$ = целая часть: 11, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 7 меньше 11,6$

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть $f ( y ) = \frac{18y - 6}{( y + 3 ) ( y + 2 )}$ Найдем производную:

$f' ( y ) = \frac{6 ( 23 + 2 y - 3 y ^2 )}{( 2 + y ) ^2 ( 3 + y ) ^2}$

При $y больше или = 4$ найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при $y больше или = 4$ ее значения меньше, чем значение при $y=4$
Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой $174=11,6 \cdot 15$

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  в 11,6 раза.