а)  Количество n-⁠значных чисел = $9 \cdot 10 в степени ( n - 1 )$ поскольку первую цифру можно выбрать девятью способами, а остальные цифры  — десятью способами. Из этих чисел 9n не содержат нулей (каждую цифру можно выбрать 9 способами), поэтому $9 \cdot 10 в степени ( n - 1 ) - 9 в степени n$ чисел содержат нули. Уменьшаемое всегда заканчивается на 0, а вычитаемое в зависимости от четности n  — на 1 или на 9. Значит, an заканчивается на 1 при нечетных n и на 9 при четных.
б)  Число заканчивается на две девятки, если после прибавления единицы оно начинает делиться на 100. Значит, число

$a_n + 1 = 9 \cdot 10 в степени ( n - 1 ) - 9 в степени n + 1=9 \cdot 10 в степени ( n - 1 ) - ( 9 в степени n - 1 )$

кратно 100. При n  =  2 число an  =  9  — не подходит. При $n больше 2$ число $9 \cdot 10 в степени ( n - 1 )$ кратно 100, поэтому число $9 в степени n - 1= ( 10 - 1 ) в степени n - 1$ должно быть кратно 100. Раскрывая скобки по формуле бинома, получим:

$10 в степени n - n10 в степени ( n - 1 ) + ... + C_n ^2 \cdot 100 - 10n + 1 - 1$

что кратно 100 в том и только том случае, когда n кратно 10. (Можно было также перебрать остатки степеней девятки от деления на 100, они образуют цикл.)
в)  Заметим, что числа $a_n=9 ( 10 в степени ( n - 1 ) - 9 в степени ( n - 1 ) )$ кратны 9, но не кратны большим степеням тройки. Значит, все делители an разбиваются на группы вида x, 3x, 9x, где x не делится на 3. В каждой такой группе сумма чисел кратна 13, поэтому и общая сумма делителей кратна 13.

Ответ: а)  1 при нечетных n, 9 при четных n; б)  при n, кратных 10; в)  нет.