Аристарх написал на заборе квадратный трёхчлен вида $x ^2 + 10x + 20$ После этого каждый проходящий мимо человек по очереди делал следующее: увеличивал или уменьшал на 1 либо коэффициент при x, либо свободный член (но не оба сразу). Рассматриваются все возможные последовательности таких изменений, приводящие от начального к конечному трёхчлену.
а) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен $x ^2 + 12x + 18?$
б) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен $x ^2 + 20x + 10?$
в) Многочлен $x ^2 + 15x + 5$ был получен за минимальное количество шагов. Какое наибольшее количество многочленов с целыми корнями можно при этом получить?
а) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен $x ^2 + 12x + 18?$
б) Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен $x ^2 + 20x + 10?$
в) Многочлен $x ^2 + 15x + 5$ был получен за минимальное количество шагов. Какое наибольшее количество многочленов с целыми корнями можно при этом получить?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Да. В последовательности $x ^2 + 10x + 19$ $x ^2 + 11x + 19$ $x ^2 + 12x + 19$ $x ^2 + 12x + 18$ ни один трехчлен не имеет целых корней.
б) Нет. Заметим, что при каждой операции значение трехчлена при $x = - 1$ менялось ровно на 1, при этом изначально оно было $1 - 10 + 20 = 11 больше 0$ а в конце стало $1 - 20 + 10 = - 9 меньше 0$ Значит, в какой-то момент оно было = нулю. В этот момент многочлен имел корень −1 и по теореме Виета второй его корень также был целым (свободный член, взятый с противоположным знаком).
в) Чтобы сделать наименьшее число операций, нужно только увеличивать коэффициент при x и только уменьшать свободный член. Тогда потребуется 20 операций. Значит, коэффициент при x (обозначим его b) будет принимать значения 10, 11, 12, 13, 14, 15, а свободный член (обозначим его c) — от 20 до 5. Выпишем возможные пары (b; c), дающие точные квадраты: (10; 16), (10; 9), (11; 10), (11; 18), (12; 11), (12; 20), (13; 12), (14; 13), (15; 14).
Кроме того, из пар (10; 9), (11; 10), (12; 11), (13; 12), (14; 13), (15; 14), может реализоваться только один, поскольку у каждой пары разность коэффициентов равна 1, а при указанных действиях разность всегда растет (уменьшаемое растет, вычитаемое уменьшается). Аналогичное утверждение верно и для пар (10; 16), (11; 18), (12; 20). Следовательно, можно сделать не более двух таких трехчленов.
Два трехчлена получить можно, например,
$x ^2 + 10x + 20 \mapsto x ^2 + 11x + 20\mapsto x ^2 + 12x + $
$ + 20\mapsto x ^2 + 12x + 19\mapsto \ldots \mapsto x ^2 + 12x + 11\mapsto \ldots$
Ясно, что дойти до нужного трехчлена дальше можно.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2.
б) Нет. Заметим, что при каждой операции значение трехчлена при $x = - 1$ менялось ровно на 1, при этом изначально оно было $1 - 10 + 20 = 11 больше 0$ а в конце стало $1 - 20 + 10 = - 9 меньше 0$ Значит, в какой-то момент оно было = нулю. В этот момент многочлен имел корень −1 и по теореме Виета второй его корень также был целым (свободный член, взятый с противоположным знаком).
в) Чтобы сделать наименьшее число операций, нужно только увеличивать коэффициент при x и только уменьшать свободный член. Тогда потребуется 20 операций. Значит, коэффициент при x (обозначим его b) будет принимать значения 10, 11, 12, 13, 14, 15, а свободный член (обозначим его c) — от 20 до 5. Выпишем возможные пары (b; c), дающие точные квадраты: (10; 16), (10; 9), (11; 10), (11; 18), (12; 11), (12; 20), (13; 12), (14; 13), (15; 14).
Кроме того, из пар (10; 9), (11; 10), (12; 11), (13; 12), (14; 13), (15; 14), может реализоваться только один, поскольку у каждой пары разность коэффициентов равна 1, а при указанных действиях разность всегда растет (уменьшаемое растет, вычитаемое уменьшается). Аналогичное утверждение верно и для пар (10; 16), (11; 18), (12; 20). Следовательно, можно сделать не более двух таких трехчленов.
Два трехчлена получить можно, например,
$x ^2 + 10x + 20 \mapsto x ^2 + 11x + 20\mapsto x ^2 + 12x + $
$ + 20\mapsto x ^2 + 12x + 19\mapsto \ldots \mapsto x ^2 + 12x + 11\mapsto \ldots$
Ясно, что дойти до нужного трехчлена дальше можно.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 2
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67168 • Задание №12
Найдите наименьшее значение функции $y=2\operatorname тангенс x минус 4x плюс Пи минус 3$ на отрезке $левая кв...
ID 68293 • Задание №14
а) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина пирамиды, прямая SC перпендикулярна...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...