Заметим, что при перестановке цифр их произведение не меняется. Если все цифры в числе разные, то этих перестановок шесть, если две одинаковые  — три, если все одинаковые  — одна.
а)  Для произведения цифр 8 есть варианты $8 \cdot 1 \cdot 1$ (три числа), $4 \cdot 2 \cdot 1$ (6 чисел) и $2 \cdot 2 \cdot 2$ (1 число), итого 10.
б)  Ясно, что только для одной цифры ее куб может быть равен данному числу, поэтому в любом роду количество чисел либо $1 + 3 + 3 + \ldots + 6 + 6 + \ldots$ либо $3 + 3 + \ldots + 6 + 6 + \ldots$ и потому дает остаток 0 или 1 при делении на 3, а 17 дает остаток 2.
в)  Нужно, чтобы число (произведение цифр) единственным способом раскладывалось в произведение трех цифр, причем две из них получались одинаковыми. Исследуем каждую цифру при двойном повторении:
— $1 \cdot 1 \cdot a$ годится при простых a (иначе добавятся варианты, где одна единица и a разложено на два множителя). То есть $a = 2, 3, 5, 7$ — четыре случая.
— $2 \cdot 2 \cdot a$ можно переделать в $4 \cdot 1 \cdot a$ и вариантов будет больше. Аналогично $3 \cdot 3 \cdot a$ можно переделать в $9 \cdot 1 \cdot a$ $4 \cdot 4 \cdot a$ в $8 \cdot 2 \cdot a$ и $6 \cdot 6 \cdot a$ в $9 \cdot 4 \cdot a$
— $5 \cdot 5 \cdot a$ при любом $a не = 5$ подходит, поскольку если произведение трех ненулевых цифр кратно 25, то среди них есть две пятерки, что однозначно определит третью цифру. Аналогично $7 \cdot 7 \cdot a$ при любом $a не = 7$ подходит.
— $8 \cdot 8 \cdot a$ при $a меньше 4$ можно переделать в $8 \cdot 4 \cdot 2a$ При $a = 4$ произведение = 28, а каждая цифра кратна не более чем 23, поэтому вариант единственный. При $a = 5$ и $a = 7$ в числе должна быть цифра 5 или 7, а затем подойдут только две восьмерки  — вариант единственный. При $a = 6$ одна из цифр кратна 3, а их произведение кратно 27, значит, кратная трем цифра это 6, а затем подойдут только две восьмерки  — вариант единственный. При $a = 9$ одна из цифр кратна 3, а их произведение кратно 26, если кратная трем цифра это 6, то произведение остальных двух $2 в степени 5 \cdot 3 = 96 больше 81 = 9 \cdot 9$ и потому это 9, а затем подойдут только две восьмерки  — вариант единственный, $a = 8$ разумеется не подойдет.
— $9 \cdot 9 \cdot a$ кратно 34, поэтому либо в нем две девятки (и последняя цифра однозначно определится), либо все цифры кратны трем, а одна из них девятка. Посмотрим, с чем будут совпадать такие произведения:

$9 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 1$
$9 \cdot 6 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 2$
$9 \cdot 6 \cdot 6 = 9 \cdot 9 \cdot 4$

значит цифры 1, 2, 4 не подходят. Остальные $a не = 9$ подойдут.
Итак, общее количество нужных произведений это $4 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 8 + 5 + 5 = 30$ штук.