На онлайн-курсах английского языка используется одна из схем ускоренного запоминания иностранных слов.
Предлагается разделить программу обучения на n уроков продолжительностью 1, 2, 3, ..., n минут. Преподаватель курсов уверяет, что за несколько дней можно посмотреть все уроки по одному разу, выделяя на занятие ровно 15 минут каждый день. Каждый урок необходимо смотреть от начала до конца в течение дня в любой последовательности.
а) Возможно ли это при n = 5?
б) Возможно ли это при n = 10?
в) Найдите все натуральные n, при которых это возможно.
Предлагается разделить программу обучения на n уроков продолжительностью 1, 2, 3, ..., n минут. Преподаватель курсов уверяет, что за несколько дней можно посмотреть все уроки по одному разу, выделяя на занятие ровно 15 минут каждый день. Каждый урок необходимо смотреть от начала до конца в течение дня в любой последовательности.
а) Возможно ли это при n = 5?
б) Возможно ли это при n = 10?
в) Найдите все натуральные n, при которых это возможно.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Да, можно посмотреть за день все уроки, поскольку $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
б) Нет, поскольку общая длительность уроков составит $1 + 2 + \ldots + 10 = 55$ что не делится на 15.
в) Ясно что при $n больше 15$ нельзя будет посмотреть за день последний урок. Пусть теперь $n меньше или = 15$ Общая продолжительность уроков составляет
$1 + 2 + \ldots + n = $\frac{1}{2}$ n ( n + 1 )$
что должно делиться на 15, а потому и на 5, значит, либо n, либо n + 1 кратно 5. Разберем все такие n. Получаем:
n = 4 дает сумму 10, не кратную 15;
n = 5 разобрано в пункте а);
n = 9 дает сумму 45 и подходит. Пример разбиения по дням:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 9 = 7 + 8 = 15$
n = 10 разобрано в пункте б);
n = 14 подходит, поскольку
$14 + 1 = 13 + 2 = \ldots = 8 + 7$
n = 15 также подходит, просто добавляем к расписанию для n = 14 еще один день с уроком длиной 15 минут.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5, 9, 14, 15.
б) Нет, поскольку общая длительность уроков составит $1 + 2 + \ldots + 10 = 55$ что не делится на 15.
в) Ясно что при $n больше 15$ нельзя будет посмотреть за день последний урок. Пусть теперь $n меньше или = 15$ Общая продолжительность уроков составляет
$1 + 2 + \ldots + n = $\frac{1}{2}$ n ( n + 1 )$
что должно делиться на 15, а потому и на 5, значит, либо n, либо n + 1 кратно 5. Разберем все такие n. Получаем:
n = 4 дает сумму 10, не кратную 15;
n = 5 разобрано в пункте а);
n = 9 дает сумму 45 и подходит. Пример разбиения по дням:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 9 = 7 + 8 = 15$
n = 10 разобрано в пункте б);
n = 14 подходит, поскольку
$14 + 1 = 13 + 2 = \ldots = 8 + 7$
n = 15 также подходит, просто добавляем к расписанию для n = 14 еще один день с уроком длиной 15 минут.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5, 9, 14, 15.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 5, 9, 14, 15
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69939 • Задание №16
Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 рублей 1 июля 2019 года сроком на 5 лет. Начиная с 1 августа 2019 ...
ID 68907 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая с...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...