В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Команда А уже обыграла три команды, поэтому, если расставить их по силе в порядке возрастания, получится
П П П А,
где П — проигравшая команда. Следующий соперник может располагаться на одном из пяти = вероятных мест:
_П_П_П_A_
Из этих пяти положений четыре находятся слева от А, и в этих случаях команда А победит, а одно справа, при этом команда А проиграет. Значит, вероятность победы команды А в четвёртом раунде равна
$P ( A ) = $\frac{4}{5}$ =0,8$
Ответ: 0,8.
Решим задачу в общем виде.
Предыдущее решение было прислано нам Дмитрием Казанцевым. Ниже мы обобщим его на случай произвольного числа команд и выигранных партий.
Упорядочим по силе в порядке возрастания команду А и k проигравших команд П. Для следующей команды есть k + 2 = вероятных места, из них k + 1 место, где она слабее А.
$\overbrace \underbrace \_ П \_ П \_ \ldots \_ П \_ _k + 1 промежуток A \_ в степени ( k + 2 промежутка )$
Поэтому вероятность выиграть в следующем раунде равна $\frac{k + 1}{k + 2}$ а вероятность проиграть равна $\frac{1}{} k + 2$ Эти вероятности зависят лишь от количества выигранных ранее партий и не зависит от общего числа команд.
Другое доказательство приведено в работе И. В. Яковлева ЕГЭ-викторина.
Приведем решение Дмитрия Сузана.
Обозначим команды А, Б, В, Г, Д, Е, и пусть Б, В, Г — уже проигравшие команды. Отсортируем команды по возрастанию силы слева направо. Тогда команды Б, В, Г точно находятся слева от А, но неясно, в каком порядке по отношению друг к другу. Команды Д и Е могут находиться как левее, так и правее команды А.
_Б_В_Г_A_ _
Найдем количество возможных перестановок команд: команда Б стоит слева от А; команда В находится или левее от Б, или между Б и А; команда Г — или справа от В, или между Б и В, или между А и Б и так далее. Всего 1 · 2 · 3 · 5 · 6 вариантов. (1)
Если в четвертом раунде команда А выиграет у Д, то Д займет место слева от А.
_Б_В_Г_Д_A_
Количество таких мест 1 · 2 · 3 · 4 · 6 вариантов. (2)
Разделив (2) на (1), получим 0,8.
Приведем решение Олега Гайнуллина.
Найдем, с какой вероятностью победит команда Х, против которой играет А в четвёртом раунде. Она побеждает тогда и только тогда, когда она является более сильной, чем все команды, которые играли до неё (так как до команды Х дойдет самая сильная команда из всех уже сыгравших). Следовательно, Х побеждает, если она является сильнейшей командой в списке из пяти случайных команд, вероятность такого события $\tfrac 15$ Поэтому вероятность того, что в игре с Х победит А, равна $1 - \tfrac 15 = \tfrac 45$
Примечание.
Из этого решения следует, что вероятность победы X над любой дошедшей до четвёртого тура командой равна $\tfrac 15$ Ещё из этого решения становится очевидно, что количество команд не имеет значения, важно только количество раундов, а потому легко выводится формула для общего случая: $1 - 1/ ( n + 1 ) = n/ ( n + 1 )$ где n — количество раундов.
Приведем другое решение.
Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.
Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.
Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.
Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 2 · 1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.
Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Поскольку три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна
$\frac{120}{180} \cdot 1 + $\frac{48}{180}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{12}{180}$ \cdot 0= $\frac{144}{180}$ =0,8$
Приведем еще одно решение.
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. Заметим, что если команда играет с командой с большим номером, то она проигрывает, а если с меньшим номером, то выигрывает. Команда A победила в трех первых играх, следовательно, она имеет номер 4, 5 или 6. При этом команды, с которыми играла команда A в первых трех играх, имеют меньшие номера. Следовательно, возможны всего 15 вариантов наборов номеров команд, принимавших участие в первых четырех играх, и каждый из этих вариантов может быть реализован с вероятностью $\frac{1}{15}$ (в наборах команда A записана последней). Сведем варианты в таблицу.
Первые три игры | Команда,
с которой играет A
в четвертой игре | Вероятность
выигрыша A
в четвертой игре
1234
1235
1236
1245
1246
1256
1345
1346
1356
1456
2345
2346
2356
2456
3456
5 или 6
4 или 6
4 или 5
3 или 6
3 или 5
3 или 4
2 или 6
2 или 5
2 или 4
2 или 3
1 или 6
1 или 5
1 или 4
1 или 3
1 или 2
| 0
0,5
1
0,5
1
1
0,5
1
1
1
0,5
1
1
1
1
Таким образом, вероятность выиграть в четвертой игре равна
$P ( A ) = $\frac{1}{15}$ \cdot ( 0 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 1 ) = $\frac{1}{15}$ \cdot 12=0,8$ $P ( A ) = $\frac{1}{15}$ \cdot ( 0 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 1 ) =$
$= $\frac{1}{15}$ \cdot 12=0,8$ $P ( A ) =$
$= $\frac{1}{15}$ \cdot ( 0 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 1 ) =$
$= $\frac{1}{15}$ \cdot 12=0,8$
Примечание к этому решению.
Можно не перебирать в явном виде все варианты, а только подсчитывать их количество. В первых трех играх, кроме команды A, принимают участие три команды, их номера надо выбрать среди номеров команд, меньших, чем у команды A.
Если команда A имеет номер 4, то в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2 и 3, и есть лишь один набор номеров команд: $C ^3 _3=1$ При этом в четвертой игре команда A заведомо проигрывает.
Если команда A имеет номер 5, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3 и 4, и есть четыре набора номеров команд: $C ^3 _4=4$ При этом в четвертой игре команда A выигрывает с вероятностью 0,5.
Если команда A имеет номер 6, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3, 4 и 5, и есть десять наборов номеров команд: $C ^3 _5=10$ При этом в четвертой игре команда A заведомо выигрывает.
Таким образом, вероятность выигрыша команды A в четвертой игре равна
$P ( A ) = $\frac{1}{15}$ \cdot 0 + $\frac{4}{15}$ \cdot 0,5 + $\frac{10}{15}$ \cdot 1=0,8$
Приведем решение Анны Малковой (Москва).
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. В трех сыгранных раундах сыграло 4 команды. Рассмотрим все варианты: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456. Получаем 15 различных вариантов. Победить в трех раундах могут только команды 4, 5 и 6. Команда 4 побеждает только в одном из 15 вариантов, следовательно, вероятность ее победы равна $\frac{1}{15}$ Команда 5 побеждает в 4 из 15 вариантов, следовательно, вероятность ее победы равна $\frac{4}{15}$ Тогда вероятность победы команды 6 равна $\frac{10}{15}$ Команда 4 не может победить в четвертом раунде, так как с командами, уступающими ей по силе, она уже сыграла. Команда 6 побеждает в четвертом раунде с вероятностью 1, так как она является самой сильной. Вероятность победы команды 5 в четвертом раунде равна $\frac{1}{2}$ так как она с = й вероятностью может сыграть как с командами, уступающими ей, так и с командой 6. Поэтому вероятность победы команды А в четвертом раунде равна
$p = 0 + $\frac{4}{15}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{10}{15}$ \cdot 1 = $\frac{12}{15}$ = \frac{4}{5}$
Приведем решение Александра Соколихина.
Пусть Max5 — событие, состоящее в том, что команда А победила в четырех играх, то есть она самая сильная из первых пяти команд в случайном списке. Пусть Max4 — событие, состоящее в том, что команда А победила в трех играх, то есть она самая сильная из первых четырех команд в случайном списке. Любая из первых пяти команд с одинаковой вероятностью может оказаться самой сильной: $P ( Max5 ) = \frac{1}{5}$ Аналогично $P ( Max4 ) = \frac{1}{4}$ Cобытие Max5 содержится в событии Max4, их пересечение составляет Max5.Тогда по формуле условной вероятности:
$P ( Max5|Max4 ) = $\frac{P ( Max5 \cdot Max4 )}{P ( Max4 )}$ = $\frac{P ( Max5 )}{P ( Max4 )}$ = $\frac{1}{5}$ : $\frac{1}{4}$ = \frac{4}{5}$
П П П А,
где П — проигравшая команда. Следующий соперник может располагаться на одном из пяти = вероятных мест:
_П_П_П_A_
Из этих пяти положений четыре находятся слева от А, и в этих случаях команда А победит, а одно справа, при этом команда А проиграет. Значит, вероятность победы команды А в четвёртом раунде равна
$P ( A ) = $\frac{4}{5}$ =0,8$
Ответ: 0,8.
Решим задачу в общем виде.
Предыдущее решение было прислано нам Дмитрием Казанцевым. Ниже мы обобщим его на случай произвольного числа команд и выигранных партий.
Упорядочим по силе в порядке возрастания команду А и k проигравших команд П. Для следующей команды есть k + 2 = вероятных места, из них k + 1 место, где она слабее А.
$\overbrace \underbrace \_ П \_ П \_ \ldots \_ П \_ _k + 1 промежуток A \_ в степени ( k + 2 промежутка )$
Поэтому вероятность выиграть в следующем раунде равна $\frac{k + 1}{k + 2}$ а вероятность проиграть равна $\frac{1}{} k + 2$ Эти вероятности зависят лишь от количества выигранных ранее партий и не зависит от общего числа команд.
Другое доказательство приведено в работе И. В. Яковлева ЕГЭ-викторина.
Приведем решение Дмитрия Сузана.
Обозначим команды А, Б, В, Г, Д, Е, и пусть Б, В, Г — уже проигравшие команды. Отсортируем команды по возрастанию силы слева направо. Тогда команды Б, В, Г точно находятся слева от А, но неясно, в каком порядке по отношению друг к другу. Команды Д и Е могут находиться как левее, так и правее команды А.
_Б_В_Г_A_ _
Найдем количество возможных перестановок команд: команда Б стоит слева от А; команда В находится или левее от Б, или между Б и А; команда Г — или справа от В, или между Б и В, или между А и Б и так далее. Всего 1 · 2 · 3 · 5 · 6 вариантов. (1)
Если в четвертом раунде команда А выиграет у Д, то Д займет место слева от А.
_Б_В_Г_Д_A_
Количество таких мест 1 · 2 · 3 · 4 · 6 вариантов. (2)
Разделив (2) на (1), получим 0,8.
Приведем решение Олега Гайнуллина.
Найдем, с какой вероятностью победит команда Х, против которой играет А в четвёртом раунде. Она побеждает тогда и только тогда, когда она является более сильной, чем все команды, которые играли до неё (так как до команды Х дойдет самая сильная команда из всех уже сыгравших). Следовательно, Х побеждает, если она является сильнейшей командой в списке из пяти случайных команд, вероятность такого события $\tfrac 15$ Поэтому вероятность того, что в игре с Х победит А, равна $1 - \tfrac 15 = \tfrac 45$
Примечание.
Из этого решения следует, что вероятность победы X над любой дошедшей до четвёртого тура командой равна $\tfrac 15$ Ещё из этого решения становится очевидно, что количество команд не имеет значения, важно только количество раундов, а потому легко выводится формула для общего случая: $1 - 1/ ( n + 1 ) = n/ ( n + 1 )$ где n — количество раундов.
Приведем другое решение.
Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.
Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.
Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.
Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 2 · 1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.
Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Поскольку три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна
$\frac{120}{180} \cdot 1 + $\frac{48}{180}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{12}{180}$ \cdot 0= $\frac{144}{180}$ =0,8$
Приведем еще одно решение.
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. Заметим, что если команда играет с командой с большим номером, то она проигрывает, а если с меньшим номером, то выигрывает. Команда A победила в трех первых играх, следовательно, она имеет номер 4, 5 или 6. При этом команды, с которыми играла команда A в первых трех играх, имеют меньшие номера. Следовательно, возможны всего 15 вариантов наборов номеров команд, принимавших участие в первых четырех играх, и каждый из этих вариантов может быть реализован с вероятностью $\frac{1}{15}$ (в наборах команда A записана последней). Сведем варианты в таблицу.
Первые три игры | Команда,
с которой играет A
в четвертой игре | Вероятность
выигрыша A
в четвертой игре
1234
1235
1236
1245
1246
1256
1345
1346
1356
1456
2345
2346
2356
2456
3456
5 или 6
4 или 6
4 или 5
3 или 6
3 или 5
3 или 4
2 или 6
2 или 5
2 или 4
2 или 3
1 или 6
1 или 5
1 или 4
1 или 3
1 или 2
| 0
0,5
1
0,5
1
1
0,5
1
1
1
0,5
1
1
1
1
Таким образом, вероятность выиграть в четвертой игре равна
$P ( A ) = $\frac{1}{15}$ \cdot ( 0 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 1 ) = $\frac{1}{15}$ \cdot 12=0,8$ $P ( A ) = $\frac{1}{15}$ \cdot ( 0 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 1 ) =$
$= $\frac{1}{15}$ \cdot 12=0,8$ $P ( A ) =$
$= $\frac{1}{15}$ \cdot ( 0 + 0,5 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 1 ) =$
$= $\frac{1}{15}$ \cdot 12=0,8$
Примечание к этому решению.
Можно не перебирать в явном виде все варианты, а только подсчитывать их количество. В первых трех играх, кроме команды A, принимают участие три команды, их номера надо выбрать среди номеров команд, меньших, чем у команды A.
Если команда A имеет номер 4, то в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2 и 3, и есть лишь один набор номеров команд: $C ^3 _3=1$ При этом в четвертой игре команда A заведомо проигрывает.
Если команда A имеет номер 5, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3 и 4, и есть четыре набора номеров команд: $C ^3 _4=4$ При этом в четвертой игре команда A выигрывает с вероятностью 0,5.
Если команда A имеет номер 6, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3, 4 и 5, и есть десять наборов номеров команд: $C ^3 _5=10$ При этом в четвертой игре команда A заведомо выигрывает.
Таким образом, вероятность выигрыша команды A в четвертой игре равна
$P ( A ) = $\frac{1}{15}$ \cdot 0 + $\frac{4}{15}$ \cdot 0,5 + $\frac{10}{15}$ \cdot 1=0,8$
Приведем решение Анны Малковой (Москва).
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. В трех сыгранных раундах сыграло 4 команды. Рассмотрим все варианты: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456. Получаем 15 различных вариантов. Победить в трех раундах могут только команды 4, 5 и 6. Команда 4 побеждает только в одном из 15 вариантов, следовательно, вероятность ее победы равна $\frac{1}{15}$ Команда 5 побеждает в 4 из 15 вариантов, следовательно, вероятность ее победы равна $\frac{4}{15}$ Тогда вероятность победы команды 6 равна $\frac{10}{15}$ Команда 4 не может победить в четвертом раунде, так как с командами, уступающими ей по силе, она уже сыграла. Команда 6 побеждает в четвертом раунде с вероятностью 1, так как она является самой сильной. Вероятность победы команды 5 в четвертом раунде равна $\frac{1}{2}$ так как она с = й вероятностью может сыграть как с командами, уступающими ей, так и с командой 6. Поэтому вероятность победы команды А в четвертом раунде равна
$p = 0 + $\frac{4}{15}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{10}{15}$ \cdot 1 = $\frac{12}{15}$ = \frac{4}{5}$
Приведем решение Александра Соколихина.
Пусть Max5 — событие, состоящее в том, что команда А победила в четырех играх, то есть она самая сильная из первых пяти команд в случайном списке. Пусть Max4 — событие, состоящее в том, что команда А победила в трех играх, то есть она самая сильная из первых четырех команд в случайном списке. Любая из первых пяти команд с одинаковой вероятностью может оказаться самой сильной: $P ( Max5 ) = \frac{1}{5}$ Аналогично $P ( Max4 ) = \frac{1}{4}$ Cобытие Max5 содержится в событии Max4, их пересечение составляет Max5.Тогда по формуле условной вероятности:
$P ( Max5|Max4 ) = $\frac{P ( Max5 \cdot Max4 )}{P ( Max4 )}$ = $\frac{P ( Max5 )}{P ( Max4 )}$ = $\frac{1}{5}$ : $\frac{1}{4}$ = \frac{4}{5}$
Правильный ответ:
0,8
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67741 • Задание №13
а) Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 1 плюс синус 2x конец аргумента минус корень из: начало арг...
ID 67211 • Задание №12
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая к...
🔗 Другие задания линии №5 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 65218
Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашних хозяйствах. Известно, что 5% яиц из перв...
ID 65219
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными циф...
ID 65220
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52....
ID 65221
[рис.] На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ...
ID 65222
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется н...