Математика. Профильный уровень

Пусть событие A состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события B1 и B2 состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события $A|B_1$ и $A|B_2$   — события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

$P ( AB_1 ) + P ( AB_2 ) =P ( A|B_1 ) \cdot P ( B_1 ) + P ( A|B_2 ) \cdot P ( B_2 ) =$
$=0,05 \cdot P ( B_1 ) + 0,3 \cdot ( 1 - P ( B_1 ) ) = - 0,25P ( B_1 ) + 0,3$ $P ( AB_1 ) + P ( AB_2 ) =$
$=P ( A|B_1 ) \cdot P ( B_1 ) + P ( A|B_2 ) \cdot P ( B_2 ) =$
$=0,05 \cdot P ( B_1 ) + 0,3 \cdot ( 1 - P ( B_1 ) ) =$
$= - 0,25P ( B_1 ) + 0,3$

По условию эта вероятность равна 0,15, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве, имеем:

$P ( B_1 ) = ( 0,3 - 0,15 ) :0,25=0,6$

Ответ: 0,6.

Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число, равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа, равна 0,5 · 0,5  =  0,25.

Ответ: 0,25.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3  =  0,156.

Ответ: 0,156.

Примечание.
Для решения задачи неважно, какую партию  — первую или вторую  — шахматист играл белыми фигурами, а какую  — черными. Для заинтересованных читателей приведем решение, где учитываются оба эти варианта.
Пусть A  — событие, состоящее в том, что шахматист выигрывает обе партии. Пусть С1  — событие, состоящее в том, что шахматист играет первую партию белыми фигурами, P(С1)  =  0,5. В этом случае в первой партии шахматист выиграет с вероятностью 0,52, а во второй партии  — с вероятностью 0,3. Тогда вероятность того, что он выиграет обе партии, равна P(A|С1)  =  0,52 · 0,3  =  0,156.
Пусть С2  — событие, состоящее в том, что шахматист играет первую партию черными фигурами, P(С2)  =  0,5. В этом случае в первой партии шахматист выиграет с вероятностью 0,3, а во второй партии  — с вероятностью 0,52. Тогда вероятность того, что он выиграет обе партии, равна P(A|С2)  =  0,3 · 0,52  =  0,156.
По формуле полной вероятности имеем:

P(A)  =  P(С1) · P(A|C1) + P(C2) · P(A|C2)  =  0,5 · 0,156 + 0,5 · 0,156  =  0,156.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (события, состоящего в том, что паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4  =  0,0625.

Ответ: 0,0625.

Примечание Решу ЕГЭ.
Как и обычно в таких задачах, мы определили, с какой вероятностью паук выползет из лабиринта через выход D (а не просто доползет до этого выхода и остановится или, например, проследует дальше к выходу А). Отметим, что вопрос следовало бы сформулировать однозначно. Мы уже связались с разработчиками ЕГЭ и сообщили им об этом.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна  $1 - 0,81 = 0,19$

Ответ: 0,19.

По условию диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965  =  0,035.

Ответ: 0,035.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94  =  0,8836.

Ответ: 0,8836.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты, равна $( 0,3 ) ^3 =0,027$

Ответ: 0,027.

Рассмотрим события

А  =  кофе закончится в первом автомате,
В  =  кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B  =  кофе закончится в обоих автоматах,
A + B  =  кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A)  =  P(B)  =  0,25; P(A·B)  =  0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B)  =  0,25 + 0,25 − 0,15  =  0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35  =  0,65.

Ответ: 0,65.
[рис.]

Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна 1 − 0,25  =  0,75. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна 1 − 0,25  =  0,75. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате, равна 1 − 0,15  =  0,85. Поскольку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85  =  0,75 + 0,75 − х, откуда искомая вероятность х  =  0,65.

Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B)  =  0,25·0,25  =  0,0625, однако по условию эта вероятность равна 0,15.

Пусть A  =  «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В  =  «чайник прослужит больше двух лет», С  =  «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С  =  «чайник прослужит больше года».
События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года  — строго в тот же день, час, наносекунду и т. д.,  — равна нулю. Тогда:

$P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) = P ( A ) + P ( B )$

откуда, используя данные из условия, получаем

$0,97 = P ( A ) + 0,89$

Таким образом, для искомой вероятности имеем:

$P ( A ) = 0,97 - 0,89 = 0,08$

Ответ: 0,08.

Пусть A  =  «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В  =  «чайник прослужит больше двух лет», С  =  «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С  =  «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года  — строго в тот же день, час и секунду,  — равна нулю. Тогда:

P(A + B+ С)  =  P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,93  =  P(A) + 0,87.

Таким образом, для искомой вероятности имеем:

P(A)  =  0,93 − 0,87  =  0,06.

Ответ: 0,06.

Рассмотрим события A  =  «в автобусе меньше 10 пассажиров», В  =  «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма  — событие A + B  =  «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82  =  0,51 + P(В), откуда P(В)  =  0,82 − 0,51  =  0,31.

Ответ: 0,31.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8  =  0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

$0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,2=0,02048 \approx 0,02$

Ответ: 0,02.

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3 · 0,3  =  0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 1 − 0,4  =  0,6, а при каждом следующем 1 − 0,6  =  0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна: $0,6 \cdot 0,4 в степени ( n - 1 )$

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

$0,6 \cdot 0,4 в степени ( n - 1 ) меньше 0,02 = сильно ( $\frac{2}{5}$ ) в степени ( n - 1 ) меньше \frac{1}{30}$

Последовательно проверяя значения n, равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является $n=5$ Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

Ответ: 5.

Примечание.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов.
Р(1)  =  0,6.
Р(2)  =  Р(1)·0,4  =  0,24.
Р(3)  =  Р(2)·0,4  =  0,096.
Р(4)  =  Р(3)·0,4  =  0,0384.
Р(5)  =  Р(4)·0,4  =  0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Приведем другое решение.
Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства

$0,4 + 0,6 \cdot 0,6 + 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,6 + 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,6 + ... + 0,6 ^2 \cdot 0,4 в степени ( n - 2 ) больше или = 0,98$ $0,4 + 0,6 \cdot 0,6 + 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,6 + $
$ + 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,6 + ... + 0,6 ^2 \cdot 0,4 в степени ( n - 2 ) больше или = 0,98$

В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему \log ическому неравенству.