Решите систему уравнений: $$$\begin{cases} новая строка \cos ( x + y ) = - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] новая строка \sin x + \sin y= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента . \end{cases}$$$
💡 Пошаговый разбор и решение:
По формуле \cos а двойного угла:
$\cos ( x + y ) = - $\frac{1}{2}$ = сильно 1 - 2 \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = - $\frac{1}{2}$ = сильно \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = $\frac{3}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} , новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\cos ( x + y ) = - $\frac{1}{2}$ = сильно 1 - 2 \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = - $\frac{1}{2}$ = сильно$
$ = сильно \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = $\frac{3}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} , новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$
Таким образом, система уравнений разбивается на совокупность двух систем:
$\left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2 \cos \dfracx - y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2,\endarray. новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2= - \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] - \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2 \cos \dfracx - y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2 \endarray. \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] \cos \dfracx - y2=1, \endarray. новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2= - \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] \cos \dfracx - y2= - 1. \endarray . \end{array} \right.$
Решим первую систему совокупности:
$$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2=\dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ =2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y=4 \pi m \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2=\dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ =2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y=4 \pi m \end{array} \right.$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl x=\dfrac \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . новая строка \{ \beginarrayl x=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . \end{array} \right. . k,m принадлежит Z$
Решим вторую систему совокупности:
$$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ = - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2= - \dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2= - \dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ = - \pi + 2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= - $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y= - 2 \pi + 4 \pi m \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ = - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2= - \dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2= - \dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ = - \pi + 2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= - $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y= - 2 \pi + 4 \pi m \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ = - 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2= - \dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2= - \dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ = - \pi + 2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= - $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y= - 2 \pi + 4 \pi m \end{array} \right.$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl x= - \dfrac4 \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . новая строка \{ \beginarray l x= - \dfrac5 \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . \end{array} \right. . k,m принадлежит Z$
Ответ: $\{ ( $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) ) ; ( $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) )$
$( - $\frac{4 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) ) ; ( - $\frac{5 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) ) ,k,m принадлежит Z \}$
$\cos ( x + y ) = - $\frac{1}{2}$ = сильно 1 - 2 \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = - $\frac{1}{2}$ = сильно \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = $\frac{3}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} , новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\cos ( x + y ) = - $\frac{1}{2}$ = сильно 1 - 2 \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = - $\frac{1}{2}$ = сильно$
$ = сильно \sin ^2 $\frac{x + y}{2}$ = $\frac{3}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} , новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$
Таким образом, система уравнений разбивается на совокупность двух систем:
$\left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2 \cos \dfracx - y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2,\endarray. новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2= - \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] - \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2 \cos \dfracx - y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2 \endarray. \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2=\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] \cos \dfracx - y2=1, \endarray. новая строка \{ \beginarrayl \sin \dfracx + y2= - \dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2, [ 6pt ] \cos \dfracx - y2= - 1. \endarray . \end{array} \right.$
Решим первую систему совокупности:
$$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2=\dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ =2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y=4 \pi m \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2=\dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ =2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y=4 \pi m \end{array} \right.$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl x=\dfrac \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . новая строка \{ \beginarrayl x=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . \end{array} \right. . k,m принадлежит Z$
Решим вторую систему совокупности:
$$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ = - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2= - \dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2= - \dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ = - \pi + 2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= - $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y= - 2 \pi + 4 \pi m \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ = - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2= - \dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2= - \dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ = - \pi + 2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= - $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y= - 2 \pi + 4 \pi m \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} новая строка \sin $\frac{x + y}{2}$ = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \\[6pt] новая строка \cos $\frac{x - y}{2}$ = - 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка [ \beginarrayl \dfracx + y2= - \dfrac \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] [ 6pt ] \dfracx + y2= - \dfrac2 \pi 3 + 2 \pi k \\[6pt] \endarray . новая строка $\frac{x - y}{2}$ = - \pi + 2 \pi m \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x + y= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 4 \pi k \\[6pt] x + y= - $\frac{4 \pi}{3}$ + 4 \pi k \end{cases}$$ . новая строка x - y= - 2 \pi + 4 \pi m \end{array} \right.$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка \{ \beginarrayl x= - \dfrac4 \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac2 \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . новая строка \{ \beginarray l x= - \dfrac5 \pi 3 + 2 \pi ( k + m ) , [ 6pt ] y=\dfrac \pi 3 + 2 \pi ( k - m ) , \endarray . \end{array} \right. . k,m принадлежит Z$
Ответ: $\{ ( $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) ) ; ( $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) )$
$( - $\frac{4 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) ) ; ( - $\frac{5 \pi}{3}$ + 2 \pi ( k + m ) ; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi ( k - m ) ) ,k,m принадлежит Z \}$
Правильный ответ:
$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка$
$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ,k,m принадлежит Z правая фигурная скобка$ $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка$
$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка$ $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка правая круглая скобка ,k,m принадлежит Z правая фигурная скобка$
-->
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71184 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: x в квадрате минус 10x плюс a в кв...
ID 71677 • Задание №19
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и
а) пять;
б) четы...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №8 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 65880
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65881
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65882
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65883
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65884
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...