Система уравнений разбивается на совокупность двух систем:

$\left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 2 \sin $\frac{x + y}{2}$ \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \\[6pt] x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2 \sin $\frac{x + y}{2}$ \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \\[6pt] x - y= - $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. = сильно$

Решим первое уравнение системы:

$$$\begin{cases} новая строка 2 \sin $\frac{x + y}{2}$ \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \\[6pt] новая строка x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 2 \sin $\frac{x + y}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ =1 \\[6pt] новая строка x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{x + y}{2}$ = $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n \\[6pt] новая строка x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ = сильно$ $$$\begin{cases} новая строка 2 \sin $\frac{x + y}{2}$ \cos $\frac{x - y}{2}$ =1 \\[6pt] новая строка x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 2 \sin $\frac{x + y}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ =1 \\[6pt] новая строка x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{x + y}{2}$ = $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi n \\[6pt] новая строка x - y= $\frac{2 \pi}{3}$ \end{cases}$$ = сильно$

$$$\begin{cases} новая строка x= $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \\[6pt] новая строка y= $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n. \end{cases}$$$

Аналогично из второй системы получаем пару решений $( $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n; $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n )$

Ответ: $( $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n; $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n ) , ( $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n; $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n ) ,n принадлежит Z$