а)  Найдем ограничения на $x:$

$$$\begin{cases} новая строка \cos ( x + $\frac{\pi}{4}$ ) не = 0 новая строка \sin x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x + $\frac{\pi}{4}$ не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z новая строка x не = \pi m \\[6pt] m принадлежит Z \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = $\frac{\pi}{4}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z новая строка x не = \pi m \\[6pt] m принадлежит Z \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка \cos ( x + $\frac{\pi}{4}$ ) не = 0 новая строка \sin x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x + $\frac{\pi}{4}$ не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z новая строка x не = \pi m \\[6pt] m принадлежит Z \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = $\frac{\pi}{4}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z новая строка x не = \pi m \\[6pt] m принадлежит Z \end{cases}$$$

Преобразуем левую часть заданного уравнения, применяя формулу \text{tg} а суммы двух аргументов:

$\text{tg} ( x + $\frac{\pi}{4}$ ) + 1= \frac{\text{tg} x + \text{tg} $\frac{\pi}{4}$ ,}{1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} $\frac{\pi}{4}$} + 1= \frac{\text{tg} x + 1}{1 - \text{tg} x} + 1= \frac{\text{tg} x + 1 + 1 - \text{tg} x}{1 - \text{tg} x} = \frac{2}{1 - \text{tg} x}$ $\text{tg} ( x + $\frac{\pi}{4}$ ) + 1= \frac{\text{tg} x + \text{tg} $\frac{\pi}{4}$ ,}{1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} $\frac{\pi}{4}$} + 1=$
$= \frac{\text{tg} x + 1}{1 - \text{tg} x} + 1= \frac{\text{tg} x + 1 + 1 - \text{tg} x}{1 - \text{tg} x} = \frac{2}{1 - \text{tg} x}$

С учетом полученного результата исходное уравнение можно будет переписать так: $\frac{1}{1 - \text{tg} x} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1}{\text{tg} x}$ Теперь решим его:

$\text{tg} x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \text{tg} x + 1 - \text{tg} x = сильно 2 \text{tg} x + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \text{tg} x=1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно$

$ = сильно ( 2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot \text{tg} x=1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно \text{tg} x= \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \text{tg} x= \frac{( 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot ( 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}{( 2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot ( 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )} = сильно$ $ = сильно ( 2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot \text{tg} x=1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно \text{tg} x= \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \text{tg} x= \frac{( 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot ( 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}{( 2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot ( 2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )} = сильно$

$ = сильно \text{tg} x= \frac{2 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{4 - 2} = сильно \text{tg} x= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = сильно x= \arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + \pi n,n принадлежит Z$ $ = сильно \text{tg} x= \frac{2 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2}{4 - 2} = сильно$
$ = сильно \text{tg} x= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = сильно x= \arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + \pi n,n принадлежит Z$

Однако, при применении в левой части исходного уравнения формулы \text{tg} а суммы могла быть потеряна серия корней вида $\frac{\pi}{2} + \pi n,n принадлежит Z$ Проверим. При $x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi n,n принадлежит Z$ имеем:

$\text{tg} ( $\frac{\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{4}$ ) + 1=2 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1 ) \cdot \ctg $\frac{\pi}{2}$ = сильно \text{tg} $\frac{3 \pi}{4}$ + 1=2 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1 ) \cdot 0 = сильно - 1 + 1=0 = сильно 0=0$ $\text{tg} ( $\frac{\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{4}$ ) + 1=2 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1 ) \cdot \ctg $\frac{\pi}{2}$ = сильно$
$ = сильно \text{tg} $\frac{3 \pi}{4}$ + 1=2 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1 ) \cdot 0 = сильно - 1 + 1=0 = сильно 0=0$ $\text{tg} ( $\frac{\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{4}$ ) + 1=2 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1 ) \cdot \ctg $\frac{\pi}{2}$ = сильно$
$ = сильно \text{tg} $\frac{3 \pi}{4}$ + 1=2 ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1 ) \cdot 0 = сильно$
$ = сильно - 1 + 1=0 = сильно 0=0$

Оказалось, что числа вида $\frac{\pi}{2} + \pi n,n принадлежит Z$ также являются корнями исходного уравнения.
б)  Из серии корней $\frac{\pi}{2} + \pi n,n принадлежит Z$ получим: при $n=0$ $x_1= \frac{\pi}{2}$ при $n=1$ $x_2= \frac{3 \pi}{2}$
Из серии корней $\arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + \pi n,n принадлежит Z :$ поскольку $\frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} меньше 1$ то $\arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} меньше \frac{\pi}{4}$ Искомый $\sqrt{данной}$ серии будет единственным: $x_3= \pi + \arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$

Замечание.
Напомним, что формула $\text{tg} ( альфа + бета ) = \frac{\text{tg} альфа + \text{tg} бета}{1 - \text{tg} альфа \cdot \text{tg} бета}$ верна только для $альфа не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi n,n принадлежит Z$ $бета не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,k принадлежит Z$ $альфа + бета не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi m,m принадлежит Z$ Аналогично формула $\text{tg} ( альфа - бета ) = \frac{\text{tg} альфа - \text{tg} бета}{1 + \text{tg} альфа \cdot \text{tg} бета}$ верна только для $альфа не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi n,n принадлежит Z$ $бета не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k,k принадлежит Z$ $альфа - бета не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi m,m принадлежит Z$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n,n принадлежит Z$ $\arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + \pi n,n принадлежит Z$ б) $\frac{\pi}{2} ; \pi + \arctan \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ $\frac{3 \pi}{2}$