а)  Решим уравнение

$\frac{2 $\sqrt{3}$ \cos ^2 x + \sin x}{2 \cos x - 1} = 0 = сильно \frac{2 $\sqrt{3}$ ( 1 - \sin ^2 x ) + \sin x}{2 \cos x - 1} = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2 $\sqrt{3}$ \sin ^2 x - \sin x - 2 $\sqrt{3}$ =0 \\[6pt] \cos x не = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x= - \frac{$\sqrt{3}$}{2} \\[6pt] \sin x= \frac{2}{} $\sqrt{3}$ \end{cases}$$ . \cos x не = $\frac{1}{2}$ , \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin x= - \frac{$\sqrt{3}$ }2 \\[6pt] \cos x не = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . = сильно x= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k,k принадлежит \mathbb{Z,}{.}$
[рис.]

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $[ 3 \pi ; $\frac{9 \pi}{2}$ ]$ Получим единственный корень $\frac{10 \pi}{3}$

Ответ: $а ) - $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k,k принадлежит Z ;б ) \frac{10 \pi}{3}$