Решим первое неравенство:

$2 в степени ( 2x + 4 ) - 16 \cdot 2 в степени ( x + 3 ) - 2 в степени ( x + 1 ) + 16 меньше или = 0 = сильно 2 в степени 4 \cdot 4 в степени x - 2 в степени 7 \cdot 2 в степени x - 2 \cdot 2 в степени x + 2 в степени 4 меньше или = 0 = сильно 2 ^3 \cdot 4 в степени x - ( 2 в степени 6 + 1 ) 2 в степени x + 2 ^3 меньше или = 0 = сильно$ $2 в степени ( 2x + 4 ) - 16 \cdot 2 в степени ( x + 3 ) - 2 в степени ( x + 1 ) + 16 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 в степени 4 \cdot 4 в степени x - 2 в степени 7 \cdot 2 в степени x - 2 \cdot 2 в степени x + 2 в степени 4 меньше или = 0 = сильно 2 ^3 \cdot 4 в степени x - ( 2 в степени 6 + 1 ) 2 в степени x + 2 ^3 меньше или = 0 = сильно$ $2 в степени ( 2x + 4 ) - 16 \cdot 2 в степени ( x + 3 ) - 2 в степени ( x + 1 ) + 16 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 в степени 4 \cdot 4 в степени x - 2 в степени 7 \cdot 2 в степени x - 2 \cdot 2 в степени x + 2 в степени 4 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно 2 ^3 \cdot 4 в степени x - ( 2 в степени 6 + 1 ) 2 в степени x + 2 ^3 меньше или = 0 = сильно$

$ = сильно ( 2 ^3 \cdot 2 в степени x - 1 ) ( 2 в степени x - 2 ^3 ) меньше или = 0 = сильно 2 в степени ( - 3 ) меньше или = 2 в степени x меньше или = 2 ^3 = сильно - 3 меньше или = x меньше или = 3$

В условиях $ - 3 меньше или = x меньше или = 3$ решим второе неравенство, запомнив, что $x не = - 2$ $x не = 3:$

$\frac{1}{|x + 2|} - $\frac{1}{|x - 3|}$ больше или = - $\frac{1}{6}$ = сильно $\frac{1}{|x + 2|}$ больше или = $\frac{1}{3 - x}$ - $\frac{1}{6}$ = сильно 6 ( 3 - x ) \geqslant ( x + 3 ) |x + 2|$ $\frac{1}{|x + 2|} - $\frac{1}{|x - 3|}$ больше или = - $\frac{1}{6}$ = сильно $\frac{1}{|x + 2|}$ больше или = $\frac{1}{3 - x}$ - $\frac{1}{6}$ = сильно$
$ = сильно 6 ( 3 - x ) \geqslant ( x + 3 ) |x + 2|$

Так как $x\geqslant - 3$ правая часть неравенства неотрицательна, получаем систему:

$$$\begin{cases} 6 ( 3 - x ) \geqslant ( x + 2 ) ( x + 3 ) \\[6pt] - 6 ( 3 - x ) \leqslant ( x + 2 ) ( x + 3 ) \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 11x - 12 меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 - x + 24 больше или = 0. \end{cases}$$$

Второе неравенство системы выполнено на всей числовой прямой, а решением первого неравенства является отрезок $ - 12 меньше или = x меньше или = 1$ Учитывая условия $ - 3 меньше или = x меньше или = 3$ $x не = - 2$ $x не = 3$ получаем множество решений исходной системы: $[ - 3; - 2 ) \cup ( - 2;1 ]$

Ответ: $[ - 3; - 2 ) \cup ( - 2;1 ]$