При $x больше или = \frac{1}{2}$ неравенство не определено. Рассмотрим знаменатель дроби:

$4 в степени x - 12 \cdot 2 в степени x + 32 = ( 2 в степени x - 4 ) ( 2 в степени x - 8 )$

При $x меньше \frac{1}{2}$ получаем $2 в степени x - 4 меньше 0$ $2 в степени x - 8 меньше 0$ а потому $( 2 в степени x - 4 ) ( 2 в степени x - 8 ) больше 0$ Следовательно,

$\frac{\log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x в степени 4 + x ^3 - 5x + 7 ) - \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 )}{4 в степени x - 12 \cdot 2 в степени x + 32} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x в степени 4 + x ^3 - 5x + 7 ) - \log_{левая} круглая скобка 1 - 2x ) ( x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 ) больше или = 0$

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак разности $\log_{левая} круглая скобка f ( x ) ) g ( x ) - \log_{левая} круглая скобка f ( x ) ) h ( x )$ совпадает со знаком разности $( g ( x ) - h ( x ) ) ( f ( x ) - 1 )$ Получаем:

$$$\begin{cases} ( - 2x + 3 ) ( - 2x ) больше или = 0 \\[6pt] 0 меньше 1 - 2x не = 1 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 5x + 7 больше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 3x - 3 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x меньше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 больше 3x - 4. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} ( - 2x + 3 ) ( - 2x ) больше или = 0 \\[6pt] 0 меньше 1 - 2x не = 1 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 5x + 7 больше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0. \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x меньше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 3x - 3 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x меньше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше 0 \\[6pt] x в степени 4 + x ^3 больше 3x - 4. \end{cases}$$$

Рассмотрим функции $f ( x ) = x в степени 4 + x ^3$ и $g ( x ) = 3x - 4$ Функция $g ( x )$ при отрицательных значениях аргумента принимает только значения, меньшие –4. Приравняем производную функции $f ( x )$ к нулю:

$4x ^3 + 3x ^2 = 0 = сильно x ^2 ( 4x + 3 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 0, x = - $\frac{3}{4}$ . \end{array} \right.$

В точке $x = - \frac{3}{4}$ эта функция достигает минимума, а потому принимает значения, не меньшие

$( - $\frac{3}{4}$ ) в степени 4 + \cdot ( - $\frac{3}{4}$ ) ^3 = $\frac{81}{256}$ - $\frac{27}{64}$ = $\frac{81 - 108}{256}$ = - \frac{27}{256}$

Таким образом, $f ( x ) больше g ( x )$ при $x меньше 0$ потому что $ - $\frac{27}{256}$ больше - 4$ а потому неравенство $x в степени 4 + x ^3 - 3x + 4 больше 0$ выполнено при отрицательных x. Решением исходного неравенства является луч $( - бесконечность ; 0 )$

Ответ: $( - бесконечность ; 0 )$