Пусть $t= \log_{2} x$ тогда исходное неравенство примет вид:

$( t ^2 - 2t ) ^2 - 11 ( t ^2 - 2t ) + 24 меньше 0$

Пусть теперь $z=t ^2 - 2t$ тогда $z ^2 - 11z + 24 меньше 0$ откуда

$( z - 3 ) ( z - 8 ) меньше 0$

Вернемся к переменной t, получим целое неравенство, решим его методом интервалов:

$( t ^2 - 2t - 3 ) ( t ^2 - 2t - 8 ) меньше 0 = сильно ( t - 3 ) ( t + 1 ) ( t - 4 ) ( t + 2 ) меньше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 меньше t меньше - 1,3 меньше t меньше 4. \end{array} \right.$ $( t ^2 - 2t - 3 ) ( t ^2 - 2t - 8 ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( t - 3 ) ( t + 1 ) ( t - 4 ) ( t + 2 ) меньше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 меньше t меньше - 1,3 меньше t меньше 4. \end{array} \right.$

Вернемся к переменной х, получим простейшие \log ические неравенства.
Для $ - 2 меньше t меньше - 1$ получаем $ - 2 меньше \log_{2} x меньше - 1$ откуда $\frac{1}{4} меньше x меньше \frac{1}{2}$
Для $3 меньше t меньше 4$ получаем $3 меньше \log_{2} x меньше 4$ откуда $8 меньше x меньше 16$

Ответ: $( $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( 8;16 )$

Примечание.
Можно было бы явно решить неравенство относительно z, затем относительно t и х. Это способ показан при решении задачи 519643.