[рис.] а)  Прямая AT лежит в плоскости SAM. Обозначим K проекцию точки T на прямую AM. Заметим, что плоскость SAM содержит также высоту пирамиды SO, прямые SO и BC перпендикулярны. Кроме того, прямые AM и BC перпендикулярны, следовательно, плоскость SAM перпендикулярна прямой BC. Таким образом, прямые AT и BC перпендикулярны. Находим:

$AO= $\sqrt{аргумента: SA ^2 - SO ^2}$ аргумента =6$
$MO= $\frac{1}{2}$ AO=3$
$SM= $\sqrt{аргумента: SO ^2 + MO ^2}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$
$ST= $\frac{1}{2}$ SM= \frac{3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2}$

Треугольники SOM и TKM подобны. Следовательно,

$TK= $\frac{1}{2}$ SO= \frac{3 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$
$MK=KO= $\frac{1}{2}$ MO= \frac{3}{2}$
$AK=AO + KO= \frac{15}{2}$
$AT= $\sqrt{аргумента: AK ^2 + TK ^2}$ аргумента = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{2}$

Заметим, что

$AT ^2 + ST ^2 = $\frac{270}{4}$ + $\frac{54}{4}$ =81=SA ^2$

Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник TSA  — прямоугольный. Следовательно, прямые AT и SM перпендикулярны. Значит, прямая AT перпендикулярна плоскости SBC и является высотой пирамиды.
б)  Из точки T на прямую SB опустим перпендикуляр TH. Заметим, что TH перпендикулярен прямой AT, поскольку лежит в плоскости SBC. Таким образом, TH  — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AT и SB. Треугольники STH и SBM подобны, поэтому $BM = $\sqrt{аргумента: SB ^2 - SM ^2}$ аргумента = 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ а так как $\frac{TH}{BM} = \frac{ST}{SB}$ то

$TH = $\frac{ST \cdot BM}{SB}$ = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$

Ответ: б) $\frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$